התפלגות נורמלית - טבלת Z ומציאת שטחים
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 התפלגות נורמלית - טבלת Z ומציאת שטחים
התפלגות נורמלית
טבלת Z ומציאת שטחים
📋 מהי טבלת Z?
טבלת Z היא כלי שמקשר בין ציון תקן לבין השטח/הסתברות.
💡 מה הטבלה נותנת?
עבור כל ציון תקן Z, הטבלה נותנת את השטח משמאל לציון זה.
כלומר: ההסתברות לקבל ערך קטן או שווה לציון התקן הנתון.
📌 סימון: \(P(Z \leq z) = \) הערך בטבלה
📖 איך קוראים בטבלה?
✏️ דוגמה: מצאו את P(Z ≤ -1.53)
שלב 1: פרקו את ציון התקן: -1.53 = -1.5 + 0.03
שלב 2: מצאו בעמודה הראשונה את -1.5
שלב 3: מצאו בשורה העליונה את 0.03
שלב 4: התא בחיתוך הוא התשובה
P(Z ≤ -1.53) = 0.0630
✏️ דוגמה: מצאו את P(Z ≤ -0.72)
-0.72 = -0.7 + 0.02
P(Z ≤ -0.72) = 0.2360
🔢 המרה בין שבר עשרוני לאחוז
ערך בטבלה × 100 = אחוז
💡 דוגמאות:
- 0.0630 → 6.30%
- 0.2360 → 23.60%
- 0.8413 → 84.13%
- 0.5000 → 50%
📌 שימו לב: כל ארבעת המונחים האלה זהים:
שטח = אחוז = הסתברות = סיכוי
⭐ ערכים חשובים לזכירה
| ציון תקן Z | ערך בטבלה | אחוז |
|---|---|---|
| Z = 0 | 0.5000 | 50% |
| Z = 1 | 0.8413 | 84.13% |
| Z = -1 | 0.1587 | 15.87% |
| Z = 2 | 0.9772 | 97.72% |
| Z = -2 | 0.0228 | 2.28% |
🔄 מציאת שטח מימין (אחוז משלים)
\(P(Z > z) = 1 - P(Z \leq z)\)
✏️ דוגמה: מצאו את P(Z > 1.6)
מהטבלה: P(Z ≤ 1.6) = 0.9452
P(Z > 1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548 (או 5.48%)
📊 שטח בין שני ציוני תקן
\(P(Z_1 < Z < Z_2) = P(Z \leq Z_2) - P(Z \leq Z_1)\)
✏️ דוגמה: מצאו את P(-0.44 < Z < 0.74)
מהטבלה: P(Z ≤ 0.74) = 0.7704
מהטבלה: P(Z ≤ -0.44) = 0.3300
P(-0.44 < Z < 0.74) = 0.7704 - 0.3300 = 0.4404 (או 44.04%)
🔍 מציאת ציון תקן מתוך אחוז (הפוך)
💡 הרעיון: לפעמים נתון האחוז וצריך למצוא את Z!
✏️ דוגמה: מצאו את Z כך ש-77% מהערכים קטנים ממנו.
שלב 1: המירו לשבר עשרוני: 77% = 0.77
שלב 2: חפשו 0.77 בתוך הטבלה
שלב 3: מצאו את ה-Z המתאים בשורה ובעמודה
Z ≈ 0.74
✏️ דוגמה: מצאו את Z כך ש-33% מהערכים גדולים ממנו.
שלב 1: אחוז משלים: 100% - 33% = 67% = 0.67
שלב 2: חפשו 0.67 בטבלה
Z ≈ 0.44
📋 טבלת סיכום - סוגי שאלות
| סוג השאלה | אופן הפתרון |
|---|---|
| P(Z ≤ z) | קוראים ישירות מהטבלה |
| P(Z > z) | 1 - (ערך מהטבלה) |
| P(Z₁ < Z < Z₂) | P(Z ≤ Z₂) - P(Z ≤ Z₁) |
| מציאת Z מאחוז | חיפוש האחוז בתוך הטבלה |
📝 סיכום
טבלת Z נותנת שטח משמאל לציון התקן
שטח מימין = 1 - שטח משמאל
שטח בין = שטח גדול - שטח קטן
דוגמאות פתורות
🏆 10% העליונים:
ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 80 וסטיית תקן 6.
מאיזה ציון ומעלה נמצאים בערך 10% התלמידים הטובים ביותר?
ידוע מהטבלה: \(P(Z > 1.28) \approx 0.10\).
הצג פתרון
אנחנו מחפשים ציון X כך ש-P(X>X₀)=0.10. לפי הטבלה: P(Z>1.28)≈0.10, לכן z≈1.28.
נחשב:
\(X = \mu + z\sigma = 80 + 1.28\cdot6 = 80 + 7.68 \approx 87.7\).
שפה יומיומית: הציון שמעליו רק 10% מהתלמידים – בערך 88.
📉 5% התחתונים:
ציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 70 וסטיית תקן 9.
מתחת לאיזה ציון נמצאים בערך 5% התלמידים החלשים ביותר?
ידוע מהטבלה: \(P(Z < -1.645) \approx 0.05\).
הצג פתרון
5% התחתונים בצד שמאל: P(Z<z)=0.05 ⇒ z≈-1.645.
נחשב את הציון:
\(X = \mu + z\sigma = 70 + (-1.645)\cdot9 \approx 70 - 14.8 = 55.2\).
⚠️ בלבול סימן:
תלמיד חישב את הציון המתאים ל-5% התחתונים כך:
לקח z=+1.645, חישב X=70+1.645·9≈84.8 וכתב שזה "5% התחתונים".
מה הטעות?
הצג פתרון
5% התחתונים נמצאים בצד שמאל של הגרף, ולכן z שלילי. כל החישוב שלו הזיז את הציון לכיוון הלא נכון – לכיוון הגבוהים.
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.