התפלגות נורמלית בעיות הפוכות מהסתברות לציון גולמי
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 התפלגות נורמלית בעיות הפוכות מהסתברות לציון גולמי
התפלגות נורמלית
בעיות הפוכות - מהסתברות לציון גולמי
🔄 התהליך ההפוך
הסתברות/אחוז
ציון תקן (Z)
ציון גולמי (x)
שלב 1: התאימו את האחוז לשטח משמאל (אם צריך)
שלב 2: מצאו בטבלת Z את ציון התקן המתאים
שלב 3: חשבו ציון גולמי: \(x = \bar{x} + Z \cdot S\)
⭐ הנוסחה ההפוכה
\(x = \bar{x} + Z \cdot S\)
💡 הסבר:
הציון הגולמי = הממוצע + (כמה סטיות תקן × גודל סטיית התקן)
✏️ דוגמה 1: מציאת ערך לפי אחוז מתחתיו
שאלה: ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 70 וסטיית תקן 8.
מהו הציון שמתחתיו נמצאים 90% מהתלמידים?
שלב 1: 90% = 0.90 (כבר שטח משמאל)
שלב 2: חפשו 0.90 בטבלה
Z ≈ 1.28
שלב 3: חשבו ציון גולמי
\(x = 70 + 1.28 \cdot 8 = 70 + 10.24 = 80.24\)
תשובה: הציון הוא כ-80.24
✏️ דוגמה 2: מציאת ערך לפי אחוז מעליו
שאלה: משכורות בחברה מתפלגות נורמלית עם ממוצע 15,000₪ וסטיית תקן 4,000₪.
10% מהעובדים מרוויחים מעל משכורת מסוימת. מהי המשכורת?
שלב 1: אחוז משלים (כי נתון "מעליו")
100% - 10% = 90% = 0.90 (שטח משמאל)
שלב 2: חפשו 0.90 בטבלה
Z ≈ 1.28
שלב 3: חשבו ציון גולמי
\(x = 15000 + 1.28 \cdot 4000 = 15000 + 5120 = 20120\)
תשובה: המשכורת היא כ-20,120₪
✏️ דוגמה 3: מציאת אחוזון
שאלה: גובה גברים מתפלג נורמלית עם ממוצע 175 ס"מ וסטיית תקן 7 ס"מ.
מהו האחוזון ה-25 (הגובה שמתחתיו 25% מהגברים)?
שלב 1: 25% = 0.25
שלב 2: חפשו 0.25 בטבלה
Z ≈ -0.67
(שלילי כי מתחת לממוצע!)
שלב 3: חשבו ציון גולמי
\(x = 175 + (-0.67) \cdot 7 = 175 - 4.69 = 170.31\)
תשובה: האחוזון ה-25 הוא כ-170.3 ס"מ
🔍 מציאת ממוצע או סטיית תקן
💡 לפעמים חסר לנו הממוצע או סטיית התקן ויש לחשב אותם!
✏️ דוגמה: משכורות מתפלגות נורמלית עם חציון 15,000₪.
84.4% מהעובדים מרוויחים יותר מ-10,960₪. מהי סטיית התקן?
שלב 1: חציון = ממוצע (בהתפלגות נורמלית), אז \(\bar{x} = 15000\)
שלב 2: 84.4% מעל 10,960 → 15.6% מתחתיו
חפשו 0.156 בטבלה → Z ≈ -1.01
שלב 3: הציבו בנוסחה
\(Z = \frac{x - \bar{x}}{S}\)
\(-1.01 = \frac{10960 - 15000}{S}\)
\(-1.01 = \frac{-4040}{S}\)
\(S = \frac{-4040}{-1.01} = 4000\)
תשובה: סטיית התקן היא 4,000₪
📋 טבלת סיכום - בעיות הפוכות
| נתון | צריך למצוא | דרך הפתרון |
|---|---|---|
| אחוז מתחתיו | ציון גולמי | מצאו Z מהטבלה, חשבו x |
| אחוז מעליו | ציון גולמי | חשבו משלים, מצאו Z, חשבו x |
| ציון ואחוז | סטיית תקן | מצאו Z, הציבו בנוסחה, פתרו ל-S |
| ציון ואחוז | ממוצע | מצאו Z, הציבו בנוסחה, פתרו לממוצע |
📝 סיכום
\(x = \bar{x} + Z \cdot S\)
הסתברות → Z מהטבלה → ציון גולמי
שימו לב לכיוון: "מתחתיו" או "מעליו"
דוגמאות פתורות
🎯 מהי התפלגות נורמלית?
בחר/י את ההגדרה המתאימה ביותר להתפלגות נורמלית.
הצג פתרון
💡 הסבר:
שפה יומיומית:
התפלגות נורמלית היא "עקומת פעמון" – רוב התלמידים נמצאים סביב הממוצע, ומעט מאוד מאוד גבוהים או מאוד נמוכים. הגרף נראה כמו גבעה סימטרית באמצע.
שפה מתמטית:
התפלגות נורמלית היא התפלגות הסתברות רציפה, סימטרית סביב הממוצע μ. הצפיפות הגבוהה ביותר היא סביב μ, וההסתברות יורדת ככל שמתרחקים מהממוצע לשני הצדדים.
לכן התשובה הנכונה היא זו שמתארת עקומת פעמון סימטרית סביב הממוצע.
📐 סימטריה בהתפלגות נורמלית:
מה המשמעות של כך שההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע μ?
הצג פתרון
הסבר יומיומי:
אם התפלגות היא סימטרית, זה אומר שאם נסתכל כמה תלמידים נמצאים 10 נקודות מעל הממוצע – יהיה בערך אותו מספר תלמידים 10 נקודות מתחת לממוצע.
הסבר מתמטי:
בתפלגות נורמלית מסתמנת סימטריה כך ש:
P(X > μ + a) = P(X < μ - a)
לכל מרחק a > 0 מהממוצע.
לכן התשובה הנכונה היא שההסתברויות משני הצדדים במרחק שווה מהממוצע זהות.
⚖️ מיקום מדדי המרכז:
בהתפלגות נורמלית מושלמת, מה נכון לגבי הממוצע, החציון והשכיח?
הצג פתרון
הסבר יומיומי:
בעקומת פעמון "מושלמת", האמצע של הגבעה, הנקודה שבה הכי הרבה ערכים, והנקודה שמחלקת את התלמידים לשניים – כולן באותו מקום.
הסבר מתמטי:
בתפלגות נורמלית סימטרית, מתקיים:
μ = median = mode
כלומר הממוצע, החציון והשכיח שווים זה לזה ונמצאים במרכז ההתפלגות.
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.