פונקציות מיוחדות 2 משפחת הפרבולה - הזזות ושינויים
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 פונקציות מיוחדות 2 משפחת הפרבולה - הזזות ושינויים
פונקציות מיוחדות
דף 2: משפחת הפרבולה - הזזות ושינויים
🎯 מה נלמד?
איך לשנות את הפרבולה הבסיסית \(y = x^2\):
- הזזה למעלה/למטה
- הזזה ימינה/שמאלה
- מתיחה או כיווץ
- היפוך (פתיחה למטה)
⬆️⬇️ הזזה למעלה/למטה: \(y = x^2 + k\)
k > 0 → הפרבולה עולה למעלה ב-k יחידות
k < 0 → הפרבולה יורדת למטה ב-|k| יחידות
✏️ דוגמאות:
\(y = x^2 + 3\) → קודקוד ב-(0, 3)
\(y = x^2 - 5\) → קודקוד ב-(0, -5)
⬅️➡️ הזזה ימינה/שמאלה: \(y = (x-h)^2\)
⚠️ שימו לב - זה הפוך ממה שחושבים!
\(y = (x-h)^2\) → הפרבולה זזה ימינה ב-h
\(y = (x+h)^2\) → הפרבולה זזה שמאלה ב-h
💡 טריק לזכור:
הקודקוד נמצא ב-x שמאפס את הסוגריים!
\(y = (x-3)^2\) → הסוגריים מתאפסים כש-x = 3 → קודקוד ב-(3, 0)
\(y = (x+4)^2\) → הסוגריים מתאפסים כש-x = -4 → קודקוד ב-(-4, 0)
🔀 שילוב: \(y = (x-h)^2 + k\)
הקודקוד נמצא בנקודה (h, k)
✏️ דוגמאות:
\(y = (x-3)^2 + 2\) → קודקוד ב-(3, 2)
\(y = (x+1)^2 - 4\) → קודקוד ב-(-1, -4)
\(y = (x-5)^2 + 1\) → קודקוד ב-(5, 1)
↕️ מתיחה וכיווץ: \(y = ax^2\)
|a| > 1
פרבולה צרה יותר
"תלולה" יותר
|a| < 1
פרבולה רחבה יותר
"שטוחה" יותר
🔄 היפוך: \(y = -x^2\)
a < 0 → הפרבולה פתוחה למטה!
כש-a שלילי:
- הפרבולה הפוכה - פתוחה למטה
- הקודקוד הוא נקודת מקסימום (במקום מינימום)
- הטווח: \((-\infty, k]\)
⭐ הצורה הכללית: \(y = a(x-h)^2 + k\)
| פרמטר | משמעות |
|---|---|
| a | כיוון ורוחב (a>0 למעלה, a<0 למטה) |
| h | הזזה אופקית (x של הקודקוד) |
| k | הזזה אנכית (y של הקודקוד) |
✏️ דוגמה: \(y = -2(x-3)^2 + 5\)
- a = -2 → פתוחה למטה, צרה
- h = 3 → הקודקוד ב-x = 3
- k = 5 → הקודקוד ב-y = 5
- קודקוד: (3, 5) - נקודת מקסימום!
📝 סיכום
\(y = a(x-h)^2 + k\)
קודקוד: (h, k) | ציר סימטריה: x = h
a > 0 → למעלה 😊 | a < 0 → למטה 😞
|a| גדול → צרה | |a| קטן → רחבה
דוגמאות פתורות
📐 הצורה הכללית:
מהי הצורה הכללית של משפחת הפרבולה?
הצג פתרון
| 📐 הצורה הקנונית הנוסחה: \(y = a(x-h)^2 + k\) כאשר \(a \neq 0\) זו הצורה הקנונית! המשמעות של כל פרמטר: \(a\): מתיחה/כיווץ וכיוון • \(a > 0\): פתוחה למעלה ⌣ • \(a < 0\): פתוחה למטה ⌢ • \(|a| > 1\): צרה • \(0 < |a| < 1\): רחבה \(h\): הזזה אופקית • \(h > 0\): ימינה → • \(h < 0\): שמאלה ← \(k\): הזזה אנכית • \(k > 0\): למעלה ↑ • \(k < 0\): למטה ↓ הקודקוד: מהצורה \(a(x-h)^2 + k\) קוראים ישירות: קודקוד = \((h, k)\) ✓ זו הנקודה החשובה ביותר! |
🎯 זיהוי קודקוד:
מה הקודקוד של \(y = 2(x-3)^2 + 5\)?
הצג פתרון
| 🎯 קריאת הקודקוד הניתוח: \(y = 2(x-3)^2 + 5\) זו הצורה: \(a(x-h)^2 + k\) עם: • \(a = 2\) • \(h = 3\) • \(k = 5\) הקודקוד: מהצורה \((x-h)^2 + k\) קוראים: \((h, k) = (3, 5)\) ✓ ⚠️ שים לב: ה-\(a=2\) לא משפיע על הקודקוד! הוא רק משפיע על הצורה (צר/רחב, למעלה/למטה) בדיקה: מתי \((x-3)^2\) מינימלי? כאשר \(x-3 = 0\) כלומר \(x = 3\) ✓ אז: \(y = 2 \cdot 0 + 5 = 5\) ✓ קודקוד: \((3, 5)\) ✓ תכונות נוספות: • כיוון: למעלה (\(a=2 > 0\)) • סוג: מינימום • ציר סימטריה: \(x=3\) • פרבולה צרה (\(|a|=2 > 1\)) |
↕️ כיוון פתיחה:
איך נראית \(y = -\frac{1}{2}(x+1)^2 - 3\)?
הצג פתרון
| ↕️ ניתוח מלא הפונקציה: \(y = -\frac{1}{2}(x+1)^2 - 3\) נכתוב מחדש: \(y = -\frac{1}{2}(x-(-1))^2 + (-3)\) הפרמטרים: • \(a = -\frac{1}{2}\) • \(h = -1\) • \(k = -3\) 1️⃣ כיוון: \(a = -\frac{1}{2} < 0\) → פתוחה למטה ⌢ ✓ 2️⃣ רוחב: \(|a| = \frac{1}{2} < 1\) → פרבולה רחבה ✓ 3️⃣ קודקוד: \((h, k) = (-1, -3)\) ✓ 4️⃣ סוג קיצון: פתוחה למטה → מקסימום ✓ מסקנות: • טווח: \((-\infty, -3]\) • יורדת ב-\((-1, \infty)\) • עולה ב-\((-\infty, -1)\) • ציר סימטריה: \(x=-1\) |
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.