פונקציות מיוחדות - פונקציית ההופכי y=1/x
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 פונקציות מיוחדות - פונקציית ההופכי y=1/x
פונקציות מיוחדות
דף 5: פונקציית ההופכי - \(y = \frac{1}{x}\)
🎯 מה זו פונקציית ההופכי?
\(y = \frac{1}{x}\) נותנת את ההופכי של x.
דוגמאות:
\(\frac{1}{2} = 0.5\) | \(\frac{1}{4} = 0.25\) | \(\frac{1}{0.5} = 2\)
⚠️ אי אפשר לחלק באפס!
\(\frac{1}{0}\) לא מוגדר!
📊 הגרף של \(y = \frac{1}{x}\) - היפרבולה
הגרף נקרא: היפרבולה
יש לו שני ענפים נפרדים - ברביע הראשון וברביע השלישי
📋 טבלת ערכים
| x | -4 | -2 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\frac{1}{x}\) | -0.25 | -0.5 | -1 | -2 | ❌ | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 |
⭐ תכונות פונקציית ההופכי
| תכונה | ערך |
|---|---|
| תחום | \(x \neq 0\) |
| טווח | \(y \neq 0\) |
| אסימפטוטה אנכית | x = 0 (ציר y) |
| אסימפטוטה אופקית | y = 0 (ציר x) |
| חיתוך עם צירים | אין! (לא חותך אף ציר) |
| מונוטוניות | יורדת בכל קטע |
➕➖ סימן הפונקציה
x > 0
\(\frac{1}{x} > 0\)
חיובי חלקי חיובי = חיובי
x < 0
\(\frac{1}{x} < 0\)
חיובי חלקי שלילי = שלילי
💡 בקיצור: הפונקציה שומרת על סימן ה-x!
🔍 התנהגות מיוחדת
כש-x מתקרב לאפס:
- מימין (x → 0⁺): הפונקציה הולכת ל-+∞
- משמאל (x → 0⁻): הפונקציה הולכת ל--∞
כש-x הולך לאינסוף:
- כש-x → +∞: הפונקציה מתקרבת ל-0 (מלמעלה)
- כש-x → -∞: הפונקציה מתקרבת ל-0 (מלמטה)
💡 אינטואיציה:
1 חלקי מספר קטן מאוד = מספר גדול מאוד
1 חלקי מספר גדול מאוד = מספר קטן מאוד (קרוב ל-0)
🔄 סימטריה
הפונקציה \(y = \frac{1}{x}\) היא פונקציה אי-זוגית:
\(f(-x) = -f(x)\)
✏️ דוגמה:
\(f(2) = \frac{1}{2} = 0.5\)
\(f(-2) = \frac{1}{-2} = -0.5 = -f(2)\) ✓
משמעות גרפית: הגרף סימטרי ביחס לראשית הצירים (נקודה (0,0))
📝 סיכום
\(y = \frac{1}{x}\) - היפרבולה
תחום: x ≠ 0 | טווח: y ≠ 0
אסימפטוטות: x = 0 (אנכית), y = 0 (אופקית)
יורדת בכל קטע | סימטרית לראשית
דוגמאות פתורות
➗ היפרבולה:
מהי הצורה הבסיסית של היפרבולה?
הצג פתרון
| ➗ היפרבולה הצורה הבסיסית: \(f(x) = \frac{1}{x}\) או: \(f(x) = x^{-1}\) שם: נקראת "היפרבולה" או "פונקציה הרציונלית הפשוטה" תכונה מיוחדת: יש שני "ענפים" נפרדים! אחד ברביע הראשון ↗ אחד ברביע השלישי ↙ |
📊 תחום:
מהו תחום ההגדרה של \(f(x) = \frac{1}{x}\)?
הצג פתרון
| 📊 תחום היפרבולה הבעיה: לא ניתן לחלק באפס! \(\frac{1}{0}\) לא מוגדר! לכן: תחום: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) פירוש: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) = כל המספרים הממשיים חוץ מ-0 או בכתיב אחר: \((-\infty, 0) \cup (0, \infty)\) דוגמאות: ✓ \(f(1) = \frac{1}{1} = 1\) מוגדר ✓ \(f(-2) = \frac{1}{-2} = -0.5\) מוגדר ✓ \(f(0.001) = \frac{1}{0.001} = 1000\) מוגדר ✗ \(f(0) = \frac{1}{0}\) לא מוגדר! זה יוצר: אסימפטוטה אנכית ב-\(x=0\)! (ציר y הוא אסימפטוטה) |
📈 טווח:
מהו הטווח של \(f(x) = \frac{1}{x}\)?
הצג פתרון
| 📈 טווח היפרבולה התשובה: \(\frac{1}{x}\) לעולם לא שווה ל-0! טווח: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) (כל המספרים חוץ מ-0) למה? אם \(\frac{1}{x} = 0\) אז \(1 = 0 \cdot x = 0\) סתירה! ✗ לכן אי אפשר ש-\(\frac{1}{x} = 0\) כל ערך אחר אפשרי: רוצים \(y=5\)? → \(x=\frac{1}{5}\) ✓ רוצים \(y=-3\)? → \(x=-\frac{1}{3}\) ✓ רוצים \(y=100\)? → \(x=\frac{1}{100}\) ✓ אבל \(y=0\)? אי אפשר! ✗ זה יוצר: אסימפטוטה אופקית ב-\(y=0\)! (ציר x הוא אסימפטוטה) |
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.