פונקציות מיוחדות המעבר מ- f(x) ל-1/f(x)
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 פונקציות מיוחדות המעבר מ- f(x) ל-1/f(x)
פונקציות מיוחדות
דף 6: המעבר מ-\(f(x)\) ל-\(\frac{1}{f(x)}\)
🎯 מה נלמד?
אם יש לנו פונקציה f(x), איך הגרף של \(\frac{1}{f(x)}\) נראה?
נלמד כללים שעוזרים לשרטט את הגרף החדש!
⭐ הכללים החשובים
כלל 1: איפה f(x) = 1 או f(x) = -1
\(\frac{1}{1} = 1\) ו-\(\frac{1}{-1} = -1\)
הנקודות הללו נשארות במקום!
כלל 2: איפה f(x) = 0 (שורשים)
\(\frac{1}{0}\) = לא מוגדר!
נוצרת אסימפטוטה אנכית!
כלל 3: |f(x)| > 1 (גדול מ-1)
אם f(x) גדול → \(\frac{1}{f(x)}\) קטן
הגרף "מתכווץ" לכיוון ציר x
כלל 4: |f(x)| < 1 (קטן מ-1)
אם f(x) קטן → \(\frac{1}{f(x)}\) גדול
הגרף "מתנפח" הרחק מציר x
כלל 5: הסימן נשמר!
f(x) > 0 → \(\frac{1}{f(x)}\) > 0
f(x) < 0 → \(\frac{1}{f(x)}\) < 0
כלל 6: המונוטוניות מתהפכת!
f(x) עולה → \(\frac{1}{f(x)}\) יורדת
f(x) יורדת → \(\frac{1}{f(x)}\) עולה
📋 טבלת סיכום
| אם f(x)... | אז 1/f(x)... |
|---|---|
| = 0 | לא מוגדר (אסימפטוטה אנכית) |
| = 1 | = 1 (נקודה קבועה) |
| = -1 | = -1 (נקודה קבועה) |
| גדול (> 1) | קטן (בין 0 ל-1) |
| קטן (בין 0 ל-1) | גדול (> 1) |
| → +∞ | → 0 (אסימפטוטה אופקית) |
| עולה | יורדת |
✏️ דוגמה 1: מ-\(f(x) = x\) ל-\(\frac{1}{x}\)
מה קרה:
- f(0) = 0 → אסימפטוטה אנכית ב-x = 0
- f(1) = 1 → נקודה (1,1) נשארת
- f(-1) = -1 → נקודה (-1,-1) נשארת
- f(x) עולה → 1/f(x) יורדת
✏️ דוגמה 2: מ-\(f(x) = x^2\) ל-\(\frac{1}{x^2}\)
מה קרה:
- f(0) = 0 → אסימפטוטה אנכית ב-x = 0
- f(1) = 1 ו-f(-1) = 1 → נקודות (±1, 1) נשארות
- כש-|x| גדול, f(x) גדול → 1/f(x) קטן (קרוב ל-0)
- הפונקציה 1/x² תמיד חיובית! (כי x² תמיד חיובי)
📝 שלבים לשרטוט 1/f(x)
- מצאו את השורשים של f(x) - שם תהיינה אסימפטוטות אנכיות
- מצאו איפה f(x) = 1 ו-f(x) = -1 - אלה נקודות קבועות
- בדקו את הסימן - הסימן נשמר!
- הפכו את המונוטוניות - עולה ↔ יורדת
- איפה f גדול → 1/f קטן (ולהפך)
- בדקו התנהגות באינסוף - האם יש אסימפטוטה אופקית?
📝 סיכום
f(x) = 0 → אסימפטוטה אנכית
f(x) = ±1 → נקודות קבועות
הסימן נשמר, המונוטוניות מתהפכת
גדול ↔ קטן
דוגמאות פתורות
📊 תחום הגדרה:
מהו תחום ההגדרה של פונקציה?
הצג פתרון
| 📊 תחום הגדרה הגדרה: תחום הגדרה = כל ערכי \(x\) שעבורם \(f(x)\) מוגדרת מסמנים: \(D_f\) או Domain איך קוראים מגרף? 1️⃣ מסתכלים על ציר \(x\) 2️⃣ איפה יש גרף? → בתחום 3️⃣ איפה אין גרף? → לא בתחום דוגמה: אם הגרף קיים מ-\(x=-2\) עד \(x=5\) תחום: \([-2, 5]\) |
📈 טווח:
מהו הטווח של פונקציה?
הצג פתרון
| 📈 טווח הגדרה: טווח = כל ערכי \(y\) שהפונקציה מקבלת מסמנים: \(R_f\) או Range איך קוראים מגרף? 1️⃣ מסתכלים על ציר \(y\) 2️⃣ מה הגובה הכי נמוך של הגרף? 3️⃣ מה הגובה הכי גבוה? דוגמה: אם הגרף בין \(y=-3\) ל-\(y=7\) טווח: \([-3, 7]\) |
✂️ חיתוך עם ציר y:
איך מוצאים את נקודת החיתוך עם ציר \(y\)?
הצג פתרון
| ✂️ חיתוך עם ציר y הכלל: נקודת חיתוך עם ציר \(y\): מציבים \(x=0\) הנקודה: \((0, f(0))\) למה? ציר \(y\) זה כל הנקודות עם \(x=0\) דוגמה: \(f(x) = x^2 + 3\) \(f(0) = 0^2 + 3 = 3\) נקודת חיתוך: \((0, 3)\) מגרף: איפה הגרף חותך את הקו האנכי! (ציר \(y\)) |
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.