פונקציות מיוחדות פונקציית הערך המוחלט |x|
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 פונקציות מיוחדות פונקציית הערך המוחלט |x|
פונקציות מיוחדות
דף 7: פונקציית הערך המוחלט - \(y = |x|\)
🎯 מה זה ערך מוחלט?
הערך המוחלט של מספר הוא המרחק שלו מאפס - תמיד חיובי!
\(|x| = \begin{cases} x & \text{אם } x \geq 0 \\ -x & \text{אם } x < 0 \end{cases}\)
✏️ דוגמאות:
\(|5| = 5\) | \(|-5| = 5\) | \(|0| = 0\)
\(|-3.7| = 3.7\) | \(|2-8| = |-6| = 6\)
📊 הגרף של \(y = |x|\)
הגרף נראה כמו האות V!
⭐ תכונות פונקציית הערך המוחלט
| תכונה | ערך |
|---|---|
| תחום | ℝ (כל המספרים) |
| טווח | \([0, \infty)\) |
| קודקוד | (0, 0) - נקודת מינימום |
| ציר סימטריה | x = 0 (ציר y) |
| סימן | \(|x| \geq 0\) תמיד! |
📈📉 מונוטוניות
יורדת ↘
\(x < 0\)
בחלק השמאלי
עולה ↗
\(x > 0\)
בחלק הימני
💡 בדיוק כמו הפרבולה! אבל עם צורת V במקום U
🔀 הזזות: \(y = |x-h| + k\)
הקודקוד נמצא בנקודה (h, k)
אותם כללים כמו בפרבולה!
✏️ דוגמאות:
\(y = |x-3| + 2\) → קודקוד ב-(3, 2)
\(y = |x+1| - 4\) → קודקוד ב-(-1, -4)
🔄 היפוך: \(y = -|x|\)
\(y = -|x|\) → צורת V הפוכה (∧)
הקודקוד הופך לנקודת מקסימום!
💡 שימושים נפוצים
1. מרחק בין שתי נקודות על ציר:
המרחק בין a ל-b הוא \(|a - b|\)
דוגמה: המרחק בין 3 ל-(-2) הוא \(|3-(-2)| = |5| = 5\)
2. משוואות עם ערך מוחלט:
\(|x| = 3\) → \(x = 3\) או \(x = -3\)
\(|x-2| = 5\) → \(x-2 = 5\) או \(x-2 = -5\) → \(x = 7\) או \(x = -3\)
3. אי-שוויונות עם ערך מוחלט:
\(|x| < 3\) → \(-3 < x < 3\)
\(|x| > 3\) → \(x > 3\) או \(x < -3\)
📝 סיכום
\(y = |x|\) - צורת V
תחום: ℝ | טווח: \([0, \infty)\)
קודקוד ב-(0,0), סימטרי לציר y
\(y = |x-h| + k\) → קודקוד ב-(h, k)
דוגמאות פתורות
|•| ערך מוחלט:
מהי ההגדרה של \(|x|\)?
הצג פתרון
| |•| ערך מוחלט הגדרה: \(|x|\) = המרחק של \(x\) מ-0 או בנוסחה: \(|x| = \begin{cases} x & x \geq 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}\) דוגמאות: \(|3| = 3\) (כבר חיובי) \(|-3| = 3\) (הופך לחיובי) \(|0| = 0\) \(|5.7| = 5.7\) \(|-100| = 100\) תכונה עיקרית: \(|x| \geq 0\) תמיד! ערך מוחלט לעולם לא שלילי |
📐 הפונקציה:
איך נראה הגרף של \(f(x) = |x|\)?
הצג פתרון
| 📐 גרף הערך המוחלט הצורה: צורת V קודקוד (פינה) ב-\((0, 0)\) למה V? כי הפונקציה מוגדרת כך: \(f(x) = \begin{cases} x & x \geq 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}\) • בצד ימין: \(y = x\) (קו עם שיפוע 1) • בצד שמאל: \(y = -x\) (קו עם שיפוע -1) שני קווים ישרים: נפגשים ב-\((0,0)\) יוצרים פינה חדה (V) |
📊 תחום וטווח:
מהם התחום והטווח של \(f(x) = |x|\)?
הצג פתרון
| 📊 תחום וטווח תחום: \(\mathbb{R}\) - כל המספרים הממשיים אפשר לחשב \(|x|\) לכל \(x\)! טווח: \([0, \infty)\) - רק ערכים לא שליליים כי \(|x| \geq 0\) תמיד! למה? תחום: אפשר להציב כל מספר! \(|5|\), \(|-3|\), \(|0|\) - הכל מוגדר ✓ טווח: התוצאה תמיד ≥ 0 • הערך הקטן ביותר: \(|0| = 0\) • אין חסם עליון: \(|1000| = 1000\) אי אפשר: \(|x| = -5\) ✗ אין פתרון! ערך מוחלט לא יכול להיות שלילי |
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.