נגזרת של מנה - כלל המנה
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 נגזרת של מנה - כלל המנה
➗ נגזרת של מנה - כלל המנה
איך גוזרים פונקציה רציונלית (שבר)
🎯 למה זה חשוב?
כדי לחקור פונקציה רציונלית (למצוא עלייה/ירידה, קיצון, קעירות) - אנחנו צריכים לגזור אותה!
לפונקציות מנה יש כלל גזירה מיוחד - כלל המנה.
⚠️ שימו לב: לא ניתן לגזור מונה ומכנה בנפרד! צריך להשתמש בנוסחה.
⭐ כלל המנה - הנוסחה
אם \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) אז:
\(f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)
כאשר \(u\) = מונה, \(v\) = מכנה
🎵 איך לזכור? - "שיר המנה"
"נגזרת המונה כפול המכנה
פחות המונה כפול נגזרת המכנה
הכל חלקי המכנה בריבוע"
\(\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)
⚠️ שימו לב לסדר!
זה \(u'v - uv'\) ולא \(uv' - u'v\)
הסדר חשוב! (בניגוד לכלל המכפלה)
✏️ דוגמה 1 - התחלה פשוטה
מצאו את הנגזרת של: \(f(x) = \frac{x+1}{x-2}\)
שלב 1: נזהה את \(u\) ו-\(v\)
\(u = x + 1\) \(v = x - 2\)
שלב 2: נגזור כל אחד בנפרד
\(u' = 1\) \(v' = 1\)
שלב 3: נציב בנוסחה
\(f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)
\(f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2}\)
שלב 4: נפשט את המונה
\(f'(x) = \frac{x - 2 - x - 1}{(x-2)^2}\)
\(f'(x) = \frac{-3}{(x-2)^2}\)
\(f'(x) = \frac{-3}{(x-2)^2}\)
✏️ דוגמה 2 - עם ריבועים
מצאו את הנגזרת של: \(f(x) = \frac{x^2}{x+3}\)
שלב 1: נזהה
\(u = x^2\) \(v = x + 3\)
שלב 2: נגזור
\(u' = 2x\) \(v' = 1\)
שלב 3: נציב
\(f'(x) = \frac{2x \cdot (x+3) - x^2 \cdot 1}{(x+3)^2}\)
שלב 4: נפשט
\(f'(x) = \frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x+3)^2}\)
\(f'(x) = \frac{x^2 + 6x}{(x+3)^2}\)
\(f'(x) = \frac{x^2 + 6x}{(x+3)^2}\)
או אחרי פירוק: \(f'(x) = \frac{x(x + 6)}{(x+3)^2}\)
✏️ דוגמה 3 - מכנה ריבועי
מצאו את הנגזרת של: \(f(x) = \frac{2x+1}{x^2-4}\)
שלב 1: נזהה
\(u = 2x + 1\) \(v = x^2 - 4\)
שלב 2: נגזור
\(u' = 2\) \(v' = 2x\)
שלב 3: נציב
\(f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2-4) - (2x+1) \cdot 2x}{(x^2-4)^2}\)
שלב 4: נפשט את המונה
\(= \frac{2x^2 - 8 - 4x^2 - 2x}{(x^2-4)^2}\)
\(= \frac{-2x^2 - 2x - 8}{(x^2-4)^2}\)
\(f'(x) = \frac{-2x^2 - 2x - 8}{(x^2-4)^2}\)
או: \(f'(x) = \frac{-2(x^2 + x + 4)}{(x^2-4)^2}\)
🔢 מקרה מיוחד: כשהמונה קבוע
כאשר \(f(x) = \frac{k}{v(x)}\) (המונה הוא קבוע), הנוסחה מתפשטת:
\(\left(\frac{k}{v}\right)' = \frac{-k \cdot v'}{v^2}\)
למה? כי \(u = k\) ולכן \(u' = 0\), אז:
\(\frac{0 \cdot v - k \cdot v'}{v^2} = \frac{-k \cdot v'}{v^2}\)
דוגמה: \(f(x) = \frac{1}{x}\)
\(k = 1\), \(v = x\), \(v' = 1\)
\(f'(x) = \frac{-1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}\)
דוגמה: \(f(x) = \frac{3}{x^2+1}\)
\(k = 3\), \(v = x^2+1\), \(v' = 2x\)
\(f'(x) = \frac{-3 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-6x}{(x^2+1)^2}\)
📊 נגזרות שימושיות לשינון
| פונקציה \(f(x)\) | נגזרת \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
| \(\frac{1}{x^2}\) | \(-\frac{2}{x^3}\) |
| \(\frac{1}{x+a}\) | \(-\frac{1}{(x+a)^2}\) |
| \(\frac{x}{x+a}\) | \(\frac{a}{(x+a)^2}\) |
| \(\frac{ax+b}{cx+d}\) | \(\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}\) |
💡 טיפ: את הנגזרות הנפוצות כדאי לזכור בעל פה כדי לחסוך זמן במבחן!
💡 טיפים חשובים למבחן
1️⃣ הסדר חשוב!
\(u'v - uv'\) ✓
\(uv' - u'v\) ✗
תמיד נגזרת המונה קודם!
2️⃣ לא לשכוח לפשט!
אחרי ההצבה - לפתוח סוגריים
ולכווץ איברים דומים במונה
3️⃣ המכנה בריבוע!
תמיד \(v^2\) במכנה
לא לפתוח את הריבוע (משאירים)
4️⃣ לארגן את העבודה
לכתוב בצד:
\(u = ...\) \(u' = ...\)
\(v = ...\) \(v' = ...\)
⚠️ שגיאות נפוצות
| ❌ שגיאה | ✓ נכון |
|---|---|
| \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'}{v'}\) | \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) |
| \(\frac{uv' - u'v}{v^2}\) (סדר הפוך) | \(\frac{u'v - uv'}{v^2}\) |
| \(\frac{u'v - uv'}{v}\) (שכחו ריבוע) | \(\frac{u'v - uv'}{v^2}\) |
📝 סיכום
\(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
"נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, חלקי המכנה בריבוע"
עכשיו אתם מוכנים לדף הסיכום: חקירת פונקציה רציונלית!
דוגמאות פתורות
נתונה הפונקציה \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x}\). גזור/י את הפונקציה.
הצג פתרון
\( -\dfrac{1}{2x^{3/2}} \)
✓ נכונה\( \dfrac{1}{2x^{3/2}} \)
\( -\dfrac{1}{x^{3/2}} \)
\( \dfrac{1}{x^{3/2}} \)
נוסחה לשורש: אם \(f(x)=\sqrt{g(x)}\) אז \(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{2\sqrt{g(x)}}\).
נוסחת מנה: אם \(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\) אז \(f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}\).
כאן \(u(x)=\sqrt{x}\), \(v(x)=x\). מתקבל \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), \(v^{\prime}(x)=1\). נציב בנוסחת המנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x-\sqrt{x}\cdot1}{x^{2}}=\dfrac{x}{2x^{1/2}x^{2}}-\dfrac{x^{1/2}}{x^{2}}=-\dfrac{1}{2x^{3/2}}\).
נתונה הפונקציה \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x}\). גזור/י את הפונקציה.
הצג פתרון
\( \dfrac{x-2(x+3)}{2x^{2}\sqrt{x+3}} \)
✓ נכונה\( \dfrac{x+2(x+3)}{2x^{2}\sqrt{x+3}} \)
\( \dfrac{1}{2x^{2}\sqrt{x+3}} \)
\( \dfrac{2}{2x^{2}\sqrt{x+3}} \)
נגדיר: \(u(x)=\sqrt{x+3}\), \(v(x)=x\).
נגזור שורש: \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\). נגזור מכנה: \(v^{\prime}(x)=1\).
נחיל נוסחת מנה: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}=\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x+3}}\cdot x-\sqrt{x+3}}{x^{2}}\).
נוציא גורם משותף ונקבל \(f^{\prime}(x)=\dfrac{x-2(x+3)}{2x^{2}\sqrt{x+3}}\).
נתונה הפונקציה \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x}}\). מצא/י את הנגזרת.
הצג פתרון
\( \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
✓ נכונה\( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \)
\( \dfrac{1}{2x} \)
\( \dfrac{x}{2\sqrt{x}} \)
גישה מהירה: אפשר לכתוב \(f(x)=x\cdot x^{-1/2}=x^{1/2}\), ואז \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
גישה דרך נוסחת המנה: \(u(x)=x\), \(v(x)=\sqrt{x}\), מתקבל \(u^{\prime}(x)=1\), \(v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) ואז \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1\cdot\sqrt{x}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=\dfrac{\sqrt{x}-\dfrac{x}{2\sqrt{x}}}{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.