📖 סטטיסטיקה התפלגות נורמלית בעיות הפוכות - מהסתברות

🔄 בעיות הפוכות - מהסתברות לציון

בבעיות הפוכות נתונה ההסתברות (השטח) ואנחנו צריכים למצוא את הערך X.

זה ההפך מהתהליך הרגיל שבו נתון X ומחפשים הסתברות.

📝 שלבי הפתרון

שלב 1: זיהוי סוג ההסתברות (משמאל, מימין, או בין שני ערכים)

שלב 2: המרת ההסתברות לשטח משמאל (אם צריך)

שלב 3: חיפוש ה-Z בטבלה (קריאה הפוכה!)

שלב 4: המרה חזרה ל-X: X = μ + Z·σ

נוסחת ההמרה ההפוכה:

X = μ + Z · σ

📊 סוגי בעיות הפוכות

סוג 1: "מהו הציון שמתחתיו X%?"

דוגמה: ציוני מבחן ~ N(70, 10²). מהו הציון שמתחתיו 75% מהתלמידים?

שלב 1: מחפשים בטבלה שטח של 0.75 ← Z ≈ 0.67

שלב 2: X = μ + Z·σ = 70 + 0.67×10 = 70 + 6.7 = 76.7

תשובה: 75% מהתלמידים קיבלו פחות מ-76.7

סוג 2: "מהו הציון שמעליו X%?"

דוגמה: גובה סטודנטים ~ N(170, 8²). מהו הגובה של 10% הגבוהים ביותר?

שלב 1: 10% מעל = 90% מתחת → מחפשים 0.90 בטבלה ← Z ≈ 1.28

שלב 2: X = 170 + 1.28×8 = 170 + 10.24 = 180.24

תשובה: 10% העליונים גבוהים מ-180.24 ס"מ

סוג 3: "מהו הציון שמתחתיו X%?" (כשהשטח קטן מ-0.5)

דוגמה: משכורות ~ N(12000, 2000²). מהו השכר של 15% המשתכרים הנמוכים?

שלב 1: מחפשים 0.15 בטבלה ← לא מוצאים ישירות!
פתרון: P(Z ≤ -z) = 0.15 → P(Z ≥ z) = 0.15 → P(Z ≤ z) = 0.85
בטבלה 0.85 ← Z ≈ 1.04, לכן Z = −1.04

שלב 2: X = 12000 + (−1.04)×2000 = 12000 − 2080 = 9920

תשובה: 15% משתכרים פחות מ-9,920 ₪

💡 ערכי Z נפוצים לשינון

אחוז מתחת	ערך Z	שימוש נפוץ
50%	0	החציון
84.13%	1.00	סטיית תקן אחת מעל
90%	1.28	עשירון עליון
95%	1.645	5% עליונים
97.5%	1.96	2.5% עליונים
99%	2.33	1% עליונים

⚠️ טעויות נפוצות:

שוכחים להמיר "מעליו" ל"מתחתיו" (1 − P)
שוכחים את הסימן השלילי כש-X קטן מ-μ
מחליפים בין Z ל-X בנוסחה
לא מציירים את העקומה לפני הפתרון

🎯 סיכום התהליך

בעיה ישירה

X נתון → Z = (X−μ)/σ → טבלה → P

⇄

בעיה הפוכה

P נתון → טבלה → Z → X = μ + Z·σ

דוגמאות פתורות

🎯 מהי התפלגות נורמלית?
בחר/י את ההגדרה המתאימה ביותר להתפלגות נורמלית.

הצג פתרון

א התפלגות נורמלית היא התפלגות רציפה בצורת 'פעמון', סימטרית סביב הממוצע, שבה רוב הערכים קרובים לממוצע ומעט ערכים רחוקים ממנו. ✓ נכונה

ב ההתפלגות הנורמלית היא כל טבלה שבה יש אחוזים וסכום האחוזים הוא 100%.

ג ההתפלגות הנורמלית היא כל מצב שבו כל הערכים שווים בדיוק לממוצע.

ד ההתפלגות הנורמלית היא התפלגות שבה כל הערכים אפשריים באותה הסתברות (התפלגות אחידה).

💡 הסבר:

שפה יומיומית:
התפלגות נורמלית היא "עקומת פעמון" – רוב התלמידים נמצאים סביב הממוצע, ומעט מאוד מאוד גבוהים או מאוד נמוכים. הגרף נראה כמו גבעה סימטרית באמצע.

שפה מתמטית:
התפלגות נורמלית היא התפלגות הסתברות רציפה, סימטרית סביב הממוצע μ. הצפיפות הגבוהה ביותר היא סביב μ, וההסתברות יורדת ככל שמתרחקים מהממוצע לשני הצדדים.

לכן התשובה הנכונה היא זו שמתארת עקומת פעמון סימטרית סביב הממוצע.

📐 סימטריה בהתפלגות נורמלית:
מה המשמעות של כך שההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע μ?

הצג פתרון

א הסתברות לקבל ערך שגדול מהממוצע באותה מידה כמו הסתברות לקבל ערך שקטן מהממוצע באותה מידה (באותו מרחק). ✓ נכונה

ב הסתברות לקבל ערך גדול מהממוצע היא תמיד 0.

ג הסתברות לקבל ערך קטן מהממוצע היא תמיד גדולה מהסתברות לקבל ערך גדול מהממוצע.

ד ההתפלגות הנורמלית אינה סימטרית כלל; צד אחד תמיד גבוה יותר.

הסבר יומיומי:
אם התפלגות היא סימטרית, זה אומר שאם נסתכל כמה תלמידים נמצאים 10 נקודות מעל הממוצע – יהיה בערך אותו מספר תלמידים 10 נקודות מתחת לממוצע.

הסבר מתמטי:
בתפלגות נורמלית מסתמנת סימטריה כך ש:
P(X > μ + a) = P(X < μ - a) לכל מרחק a > 0 מהממוצע.

לכן התשובה הנכונה היא שההסתברויות משני הצדדים במרחק שווה מהממוצע זהות.

⚖️ מיקום מדדי המרכז:
בהתפלגות נורמלית מושלמת, מה נכון לגבי הממוצע, החציון והשכיח?

הצג פתרון

א הם חופפים – הממוצע, החציון והשכיח שווים זה לזה. ✓ נכונה

ב הממוצע תמיד גדול מהחציון, והחציון גדול מהשכיח.

ג השכיח תמיד גדול מהממוצע, והחציון נמצא ביניהם.

ד אין קשר בין שלושת המדדים – כל אחד במקום אחר.

הסבר יומיומי:
בעקומת פעמון "מושלמת", האמצע של הגבעה, הנקודה שבה הכי הרבה ערכים, והנקודה שמחלקת את התלמידים לשניים – כולן באותו מקום.

הסבר מתמטי:
בתפלגות נורמלית סימטרית, מתקיים:
μ = median = mode כלומר הממוצע, החציון והשכיח שווים זה לזה ונמצאים במרכז ההתפלגות.

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.