מדדי פיזור - טווח, שונות וסטיית תקן
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 מדדי פיזור - טווח, שונות וסטיית תקן
📏 מדדי פיזור - כמה הנתונים "מפוזרים"?
שתי כיתות עם ממוצע 80 יכולות להיות שונות לחלוטין! באחת כולם סביב 80, בשנייה יש גם 50 וגם 100. מדדי הפיזור אומרים לנו כמה הנתונים "מרוחקים" מהממוצע.
📊 השוואה ויזואלית
כיתה א - ממוצע 80, סטת = 5
📍 צפופים סביב הממוצע
כיתה ב - ממוצע 80, סטת = 15
📍 מפוזרים הרחק מהממוצע
🔢 המדדים
| מדד | הגדרה | יתרון/חיסרון |
|---|---|---|
| טווח | מקסימום - מינימום | פשוט, אבל מושפע מקיצוניים |
| טווח בין-רבעוני | Q3 - Q1 | ✅ עמיד לקיצוניים |
| שונות | ממוצע סטיות בריבוע | ביחידות בריבוע |
| סטיית תקן | √שונות | ✅ באותן יחידות כמו הנתונים |
🧮 נוסחאות השונות וסטיית התקן
שונות (אוכלוסייה)
\(\sigma^2 = \frac{\sum(x_i - \mu)^2}{N}\)
שונות (מדגם)
\(S^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}\)
💡 למה n-1 במדגם?
כי כשמחשבים שונות מדגם, ה-x̄ כבר "מתאים את עצמו" לנתונים, אז השונות יוצאת קטנה מדי. חלוקה ב-n-1 מתקנת את זה.
🎯 ציון תקן (Z-score)
\(Z = \frac{x - \bar{x}}{S}\)
אומר לנו כמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע.
- Z = 0 → בדיוק בממוצע
- Z = 1 → סטייה אחת מעל הממוצע
- Z = -2 → שתי סטיות מתחת לממוצע
דוגמאות פתורות
מהו הרעיון המרכזי של "מדד מיקום מרכזי" בסטטיסטיקה?
הצג פתרון
מדדי מיקום מרכזי (ממוצע, חציון, שכיח) לא עוסקים בפיזור או בקיצוניות, אלא בשאלה: מהו הערך שמייצג את מרכז הנתונים או את הערך האופייני להם. הם עוזרים לנו לסכם קבוצת נתונים גדולה למספר אחד שמספר את "סיפור המרכז".
מהו ממוצע חשבוני (Arithmetic Mean) של סדרת נתונים?
הצג פתרון
הממוצע החשבוני מחושב על ידי סכימה של כל הערכים וחלוקה במספרם. זהו ערך "נקודת האיזון" – אם נחשוב על הנתונים כמשקולות על קו, הממוצע הוא המקום שבו הקו מאוזן. הוא מתחשב בכל הערכים ולכן רגיש לערכים חריגים.
מהו חציון (Median) של סדרת נתונים?
הצג פתרון
כדי למצוא חציון, קודם מסדרים את הנתונים מהקטן לגדול. לאחר מכן מחפשים את הערך שנמצא באמצע. החציון אינו מתחשב בגודל המדויק של כל הערכים אלא במיקומם, ולכן הוא פחות רגיש לערכים קיצוניים.
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.