התפלגות בינומית - מתי ואיך להשתמש

📖 התפלגות בינומית - מתי ואיך להשתמש

🎯 ההתפלגות הבינומית - הכוכבת של הסטטיסטיקה

ההתפלגות הבינומית עונה על השאלה: "כמה הצלחות יהיו מתוך n ניסיונות?"

🔑 מתי משתמשים בבינומית?

כשמתקיימים 4 תנאים:

יש n ניסויים (מספר קבוע וידוע מראש)
כל ניסוי = הצלחה או כישלון (בינארי)
הסתברות ההצלחה p קבועה בכל ניסוי
הניסויים בלתי תלויים זה בזה

🎲 דוגמאות קלאסיות

🪙

10 הטלות מטבע
X = מספר ה"עץ"
n=10, p=0.5

📝

20 שאלות אמריקאיות
X = מספר תשובות נכונות (בניחוש)
n=20, p=0.25

🏭

100 מוצרים
X = מספר הפגומים
n=100, p=0.02

📐 הנוסחאות

מה מחשבים	הנוסחה	דוגמה (n=100, p=0.3)
תוחלת	E(X) = np	100 × 0.3 = 30
שונות	Var(X) = np(1-p)	100 × 0.3 × 0.7 = 21
סטיית תקן	σ = √np(1-p)	√21 ≈ 4.58

💡 איך לזכור?

תוחלת = np - הגיוני! אם מטילים מטבע 100 פעמים, מצפים ל-50 "עץ".

שונות = npq - השונות מקסימלית כש-p=0.5 (הכי לא ודאי).

⚠️ מתי זו לא בינומית?

❌ "כמה זמן עד שמצליחים?" → גיאומטרית

❌ בוחרים כדורים ללא החזרה → היפרגיאומטרית

❌ סופרים אירועים בזמן רציף → פואסון

דוגמאות פתורות

🎲 מהו ניסוי ברנולי?
ניסוי ברנולי הוא ניסוי שיש לו:

הצג פתרון

א בדיוק 2 תוצאות אפשריות ✓ נכונה

ב הרבה תוצאות אפשריות

ג תוצאה אחת בלבד

ד 3 תוצאות אפשריות

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרה 🔍

ניסוי ברנולי 🎲

ניסוי עם בדיוק 2 תוצאות

✅ הצלחה
❌ כישלון

שלב 2: דוגמאות 📐

דוגמאות לניסוי ברנולי:

🪙 הטלת מטבע: עץ/פלי
🎯 קליעה למטרה: קלע/החטיא
📝 מבחן: עבר/נכשל
🚗 רמזור: ירוק/לא ירוק

תשובה: בדיוק 2 תוצאות אפשריות

✅❌ סימונים:
בניסוי ברנולי מסמנים:
p = הסתברות להצלחה.
מהו q?

הצג פתרון

א q = הסתברות לכישלון = 1 - p ✓ נכונה

ב q = הסתברות להצלחה

ג q = מספר הניסויים

ד q = p × 2

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הסימונים 🔍

סימונים חשובים! 💡

p = הסתברות להצלחה

q = הסתברות לכישלון

q = 1 - p

שלב 2: למה q = 1 - p? 📐

סכום כל ההסתברויות = 1

p + q = 1

לכן: q = 1 - p

שלב 3: דוגמה 💭

אם p = 0.3 (30% הצלחה)

אז q = 1 - 0.3 = 0.7

(70% כישלון)

תשובה: q = הסתברות לכישלון = 1 - p

🪙 זיהוי:
הטלת מטבע הוגן.
האם זה ניסוי ברנולי?

הצג פתרון

א כן - יש 2 תוצאות: עץ או פלי ✓ נכונה

ב לא - יש יותר מ-2 תוצאות

ג לא - זה לא ניסוי

ד תלוי במטבע

💡 הסבר מפורט:

בדיקה 🔍

כן! זה ניסוי ברנולי ✓

🪙 הטלת מטבע:

תוצאה 1: עץ ✅
תוצאה 2: פלי ❌

בדיוק 2 תוצאות!

ההסתברויות 📐

במטבע הוגן:

p = P(עץ) = 0.5
q = P(פלי) = 0.5

תשובה: כן - יש 2 תוצאות: עץ או פלי

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.