תוחלת ושונות של משתנה מקרי - הסבר מלא
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 תוחלת ושונות של משתנה מקרי - הסבר מלא
📊 תוחלת ושונות - המדדים החשובים ביותר
כשיש לנו משתנה מקרי, אנחנו רוצים לדעת שני דברים: מה הערך הממוצע הצפוי? וכמה הערכים מפוזרים?
🎯 תוחלת E(X) - "הממוצע המשוקלל"
הנוסחה
\(E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\)
כל ערך כפול ההסתברות שלו, ואז סוכמים
🔢 דוגמה מפורטת
משתנה מקרי X מקבל את הערכים 1, 2, 3 בהסתברויות 0.2, 0.5, 0.3:
E(X) = 1 × 0.2 + 2 × 0.5 + 3 × 0.3
E(X) = 0.2 + 1.0 + 0.9
E(X) = 2.1
E(X) = 0.2 + 1.0 + 0.9
E(X) = 2.1
📏 שונות Var(X)
הנוסחה
\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
תוחלת הריבועים פחות ריבוע התוחלת
⚡ כללים חשובים לטרנספורמציות
| אם Y = aX + b | תוחלת | שונות |
|---|---|---|
| הנוסחה | E(Y) = a·E(X) + b | Var(Y) = a²·Var(X) |
| דוגמה Y = 2X + 3, E(X)=5, Var(X)=4 | E(Y) = 2×5 + 3 = 13 | Var(Y) = 4×4 = 16 |
⚠️ טעות נפוצה!
השונות לא מושפעת מהקבוע b! הוספת קבוע מזיזה את כל הנתונים יחד - הפיזור לא משתנה.
השונות לא מושפעת מהקבוע b! הוספת קבוע מזיזה את כל הנתונים יחד - הפיזור לא משתנה.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1
📊 מושגי יסוד:
מהו משתנה מקרי (Random Variable)?
הצג פתרון
א
פונקציה שמתאימה ערך מספרי לכל תוצאה בניסוי מקרי
✓ נכונה
ב
מספר שנבחר באקראי
ג
משתנה שערכו ידוע מראש
ד
הסתברות של אירוע
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: הגדרה 🔍
| הסבר יומיומי: 🎲 משתנה מקרי = "תרגום" של תוצאות ניסוי למספרים זה לא סתם מספר אקראי! זו פונקציה שהופכת תוצאות למספרים דוגמה: הטלת מטבע: {עץ, פלי} → X מתאים מספרים • עץ → X = 0 • פלי → X = 1 |
שלב 2: המחשה 📊
תשובה נכונה: פונקציה שמתאימה ערך מספרי לכל תוצאה בניסוי מקרי
דוגמה 2
📊 סימונים:
מה ההבדל בין X לבין x במשתנה מקרי?
הצג פתרון
א
X = המשתנה המקרי עצמו, x = ערך ספציפי שהוא מקבל
✓ נכונה
ב
אין הבדל - זה אותו דבר
ג
X = ממוצע, x = סטיית תקן
ד
X = הסתברות, x = תוצאה
💡 הסבר מפורט:
סימונים חשובים 🔍
| ההבחנה: • X (אות גדולה) = המשתנה המקרי עצמו זו הפונקציה, ה"קופסה" • x (אות קטנה) = ערך ספציפי מספר מסוים שהמשתנה יכול לקבל דוגמה: X = תוצאת הטלת קובייה x = 3 (ערך ספציפי אחד) |
תשובה נכונה: X = המשתנה המקרי עצמו, x = ערך ספציפי שהוא מקבל
דוגמה 3
📊 סוגי משתנים:
מהו משתנה מקרי בדיד (Discrete)?
הצג פתרון
א
משתנה שמקבל מספר סופי או בן מנייה של ערכים
✓ נכונה
ב
משתנה שמקבל כל ערך בטווח
ג
משתנה שתמיד חיובי
ד
משתנה עם התפלגות נורמלית
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: הגדרה 🔍
| משתנה בדיד: 🔢 מקבל ערכים "קפיצתיים" - אפשר לספור אותם דוגמאות: • מספר ילדים במשפחה: 0, 1, 2, 3, ... • תוצאת קובייה: 1, 2, 3, 4, 5, 6 • מספר תאונות ביום: 0, 1, 2, ... • מספר לקוחות בחנות אין ערכים "באמצע"! למשל: אין 2.5 ילדים |
תשובה נכונה: משתנה שמקבל מספר סופי או בן מנייה של ערכים
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.
לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.