📖 טריגומטריה - פונקציית tan

טריגונומטריה על מעגל היחידה

דף 16: פונקציית tan(x)

📐 הגדרה

tan(x) = sin(x) / cos(x)

💡 במשולש ישר זווית:

tan(α) = מול / ליד

⚠️ תחום הגדרה

tan(x) לא מוגדר כאשר cos(x) = 0

(כי אי אפשר לחלק באפס!)

נקודות אי-רציפות:

x = π/2 + πn (כלומר ±π/2, ±3π/2, ...)

בנקודות אלו יש אסימפטוטות אנכיות

📈 הגרף של y = tan(x)

📋 תכונות tan(x)

תכונה	ערך
תחום	x ≠ π/2 + πn
טווח	כל הממשיים ℝ
מחזור	π (לא 2π!)
נקודות אפס	x = πn
סימטריה	אי-זוגית: tan(-x) = -tan(x)
מונוטוניות	עולה בכל קטע רציפות

📊 ערכים מיוחדים

x	tan(x)
0	0
π/6 (30°)	1/√3 = √3/3
π/4 (45°)	1
π/3 (60°)	√3
π/2 (90°)	לא מוגדר

📝 סיכום דף 16

tan(x) = sin(x)/cos(x)

מחזור = π (לא 2π!)

טווח = כל ℝ, אסימפטוטות ב-x = π/2 + πn

tan(45°) = 1

דוגמאות פתורות

📐 הגדרה:

\(\tan(x)\) מוגדר גיאומטרית כ:

הצג פתרון

א אורך המשיק למעגל מנקודת חיתוך עם ציר \(x\) ✓ נכונה

ב אורך הרדיוס

ג אורך הקשת

ד קואורדינטת \(x\) על המעגל

📐 הגדרה גיאומטרית של tan

הגדרה על המעגל:

משיקים קו ניצב לציר \(x\) בנקודה \((1, 0)\)

הקו מהראשית בזווית \(x\) חותך את המשיק

\(\tan(x)\) = אורך המשיק ✓

(מסומן בציר האנכי שעובר דרך \(x=1\))

⭐ נוסחה:

\(\tan(x)\) שווה ל:

הצג פתרון

א \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) ✓ נכונה

ב \(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\)

ג \(\sin(x) \times \cos(x)\)

ד \(\sin(x) + \cos(x)\)

⭐ הנוסחה הבסיסית

נוסחת היסוד:

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) ✓

כלומר: סינוס חלקי קוסינוס

הוכחה מהמעגל:

נקודה על המעגל: \((\cos(x), \sin(x))\)

שיפוע הקו מהראשית:

\(m = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)\) ✓

🔢 ערך:

\(\tan(0)\) שווה ל:

הצג פתרון

א \(0\) ✓ נכונה

ב \(1\)

ג לא מוגדר

ד \(\infty\)

🔢 tan(0)

חישוב:

\(\tan(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)}\)

\(= \frac{0}{1}\)

\(= 0\) ✓

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.