טריגומטריה - פתרון משוואות cos(ax+b) = m

הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.

📖 טריגומטריה - פתרון משוואות cos(ax+b) = m

משוואות טריגונומטריות

דף 18: פתרון משוואות cos(ax+b) = m

⚠️ תנאי הכרחי

למשוואה cos(x) = m יש פתרון רק אם -1 ≤ m ≤ 1

⭐ הנוסחה הכללית

α = ±α₀ + 2πn

(כאשר n ∈ ℤ)

💡 למה ±?

כי cos(-α) = cos(α) - קוסינוס פונקציה זוגית!

✏️ דוגמה

פתור: cos(2x) = ½

פתרון:

1. תנאי: ½ ∈ [-1,1] ✓

2. פתרון בסיסי: cos(π/3) = ½, לכן α₀ = π/3

3. פתרון כללי:

2x = π/3 + 2πn → x = π/6 + πn

2x = -π/3 + 2πn → x = -π/6 + πn

📝 סיכום דף 18

cos(α) = m → פתרון רק אם |m| ≤ 1

α = ±α₀ + 2πn

(± כי cos זוגית)

דוגמאות פתורות

דוגמה 1

= משוואה:

הפתרונות של \(\sin(x)\) = \(0\) הם:

הצג פתרון
א \(x = n\pi\) (\(n\) שלם) ✓ נכונה
ב \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\)
ג \(x = 2n\pi\)
ד \(x = \frac{\pi}{4} + n\pi\)
= \(\sin(x)\) = \(0\)

פתרון:

\(\sin(x)\) = \(0\) כאשר:

x = 0, \(\pi\), \(2\pi\), 3π, ...

כללי: \(x = n\pi\) (\(n\) שלם) ✓

הסבר:

sin = 0 על ציר x

כל מכפולה שלמה של \(\pi\) ✓

0π\(2\pi\)
דוגמה 2

= משוואה:

הפתרונות של \(\cos(x)\) = \(0\) הם:

הצג פתרון
א \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) (\(n\) שלם) ✓ נכונה
ב \(x = n\pi\)
ג \(x = 2n\pi\)
ד \(x = \frac{\pi}{4} + n\pi\)
= \(\cos(x)\) = \(0\)

פתרון:

\(\cos(x)\) = \(0\) כאשר:

x = \(\frac{\pi}{2}\), 3\(\frac{\pi}{2}\), 5\(\frac{\pi}{2}\), ...

כללי: \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) (\(n\) שלם) ✓

הסבר:

cos = 0 על ציר y

כל \(\frac{\pi}{2}\) + מכפולות של \(\pi\) ✓
דוגמה 3

= משוואה:

הפתרונות של \(\sin(x)\) = \(1\) הם:

הצג פתרון
א \(x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) שלם) ✓ נכונה
ב \(x = n\pi\)
ג \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\)
ד \(x = \pi + 2n\pi\)
= \(\sin(x)\) = \(1\)

פתרון:

\(\sin(x)\) = \(1\) כאשר:

x = \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\) + \(2\pi\), \(\frac{\pi}{2}\) + \(4\pi\), ...

כללי: \(x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) שלם) ✓

למה 2nπ?

כי sin = 1 רק בנקודה (0, 1)

לא ב-(0, -1)! ✓

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.