מדד ספירמן למשתנים סידוריים
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 מדד ספירמן למשתנים סידוריים
סטטיסטיקה
מדד ספירמן למשתנים סידוריים
📊 מתי משתמשים בספירמן?
מתאם ספירמן (\(r_s\)) מודד קשר בין שני משתנים סידוריים (או משתנים שניתן לדרג).
💡 מתאים כאשר:
- הנתונים הם דירוגים (מקום 1, 2, 3...)
- משתנים סידוריים (נמוך/בינוני/גבוה)
- הקשר מונוטוני אך לא בהכרח ליניארי
- יש ערכים חריגים (ספירמן עמיד יותר מפירסון)
💡 הרעיון מאחורי ספירמן
ספירמן עובד על דירוגים, לא על הערכים המקוריים:
- ממירים כל משתנה לדירוגים (1, 2, 3, ...)
- מחשבים את ההפרש בין הדירוגים (\(d_i\))
- מדד הקשר מבוסס על הפרשי הדירוגים
איור: קשר מונוטוני (לא ליניארי)
📐 נוסחת ספירמן
כאשר אין דירוגים כפולים (קשרים):
\(r_s = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}\)
כאשר \(d_i = R_{X_i} - R_{Y_i}\) = ההפרש בין הדירוגים
💡 תכונות:
- \(-1 \leq r_s \leq 1\)
- \(r_s = 1\) → קשר מונוטוני עולה מושלם
- \(r_s = -1\) → קשר מונוטוני יורד מושלם
- \(r_s = 0\) → אין קשר מונוטוני
✏️ דוגמה מלאה
נתונים: 8 סטודנטים - שעות לימוד וציון במבחן
| סטודנט | שעות (X) | ציון (Y) | דירוג X | דירוג Y | d | d² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 2 | 55 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| B | 4 | 62 | 2 | 2 | 0 | 0 |
| C | 5 | 70 | 3 | 4 | -1 | 1 |
| D | 6 | 68 | 4 | 3 | 1 | 1 |
| E | 8 | 78 | 5 | 5 | 0 | 0 |
| F | 10 | 85 | 6 | 6 | 0 | 0 |
| G | 12 | 92 | 7 | 8 | -1 | 1 |
| H | 15 | 88 | 8 | 7 | 1 | 1 |
| סכום | Σd² = 4 | |||||
\(r_s = 1 - \frac{6 \times 4}{8(64-1)} = 1 - \frac{24}{8 \times 63} = 1 - \frac{24}{504} = 1 - 0.048 = 0.952\)
פרשנות: קשר חיובי חזק מאוד בין שעות לימוד לציון
🔗 טיפול בדירוגים כפולים (Ties)
כאשר יש ערכים זהים, נותנים להם את הדירוג הממוצע:
✏️ דוגמה:
נתונים: 15, 20, 20, 25, 30
15 → דירוג 1
20, 20 → תופסים מקומות 2 ו-3 → דירוג ממוצע: (2+3)/2 = 2.5
25 → דירוג 4
30 → דירוג 5
הדירוגים הסופיים: 1, 2.5, 2.5, 4, 5
✏️ דוגמה נוספת:
נתונים: 10, 20, 20, 20, 30
10 → דירוג 1
20, 20, 20 → תופסים מקומות 2, 3, 4 → דירוג ממוצע: (2+3+4)/3 = 3
30 → דירוג 5
הדירוגים הסופיים: 1, 3, 3, 3, 5
⚠️ שימו לב:
כשיש הרבה דירוגים כפולים, הנוסחה הפשוטה פחות מדויקת.
במקרה כזה, משתמשים בנוסחה מתוקנת או מחשבים מתאם פירסון על הדירוגים.
📊 פרשנות מתאם ספירמן
| ערך |rs| | עוצמת הקשר |
|---|---|
| 0 - 0.2 | זניח / אין קשר |
| 0.2 - 0.4 | חלש |
| 0.4 - 0.6 | בינוני |
| 0.6 - 0.8 | חזק |
| 0.8 - 1.0 | חזק מאוד |
💡 הסימן חשוב:
- rs > 0: קשר חיובי - כשאחד עולה, השני עולה
- rs < 0: קשר שלילי - כשאחד עולה, השני יורד
⚖️ ספירמן מול פירסון
| ספירמן (rs) | פירסון (r) | |
|---|---|---|
| עובד על | דירוגים | ערכים מקוריים |
| מודד קשר | מונוטוני (כללי) | ליניארי בלבד |
| רגיש לחריגים | פחות רגיש | רגיש |
| סולם מדידה | סידורי ומעלה | רווחי/מנתי |
💡 טיפים למבחן
דירוג 1 = הנמוך ביותר
זהים: דירוג ממוצע
נוסחה: \(1 - \frac{6\Sigma d^2}{n(n^2-1)}\)
📝 סיכום דף 10
\(r_s = 1 - \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}\)
מודד קשר מונוטוני, עמיד לחריגים
טווח: [-1, 1]
דוגמאות פתורות
📘 מהו מתאם בין שני משתנים?
כאשר מדברים על מתאם בין שני משתנים כמותיים (למשל שעות לימוד וציון), למה מתכוונים?
הצג פתרון
מתאם מתאר עד כמה כאשר ערכים של משתנה אחד משתנים, גם הערכים של המשתנה השני נוטים להשתנות בצורה קווית. הוא אומר לנו:
- האם כשאחד עולה, השני נוטה לעלות (חיובי) או לרדת (שלילי).
- כמה חזקה ההתאמה הזו.
הוא לא אומר שום דבר ישירות על ממוצעים או על סיבתיות.
📏 מהו מקדם מתאם פירסון r?
הצג פתרון
r של פירסון הוא מדד קשר קווי:
- תמיד בין -1 ל+1.
- הסימן (+ או -) אומר את הכיוון.
- הערך המוחלט (המרחק מאפס) אומר את החוזק.
📚 טווח אפשרי של r:
איזה טווח ערכים אפשרי למקדם מתאם פירסון r?
הצג פתרון
תמיד מתקיים -1 ≤ r ≤ 1.
- r = 1 קשר קווי חיובי מושלם.
- r = -1 קשר קווי שלילי מושלם.
- r = 0 אין קשר קווי.
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.