טריגונומטריה - גרפים של פונקציות טריגונומטריות

הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.

📖 טריגונומטריה - גרפים של פונקציות טריגונומטריות

📈 גרפים של פונקציות טריגונומטריות

4-5 יח"ל מתמטיקה | 

1. גרף פונקציית הסינוס y = sin x

0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 1 -1 y = sin x
תכונה ערך
תחום כל הממשיים ℝ
טווח [-1, 1]
מחזור 2π
נקודות מקסימום x = π/2 + 2πk (ערך: 1)
נקודות מינימום x = 3π/2 + 2πk (ערך: -1)
אפסים x = πk
זוגיות אי-זוגית (סימטריה סביב הראשית)

2. גרף פונקציית הקוסינוס y = cos x

0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 1 -1 y = cos x
📌 קשר בין sin ו-cos:
cos x = sin(x + π/2)
גרף הקוסינוס הוא גרף הסינוס מוזז π/2 שמאלה

3. גרף פונקציית הטנגנס y = tan x

0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 y = tan x אסימפטוטה
תכונה ערך
תחום ℝ \ {π/2 + πk}
טווח כל הממשיים ℝ
מחזור π
אסימפטוטות אנכיות x = π/2 + πk
אפסים x = πk
זוגיות אי-זוגית

4. טרנספורמציות - הזזות ומתיחות

הצורה הכללית: y = A·sin(Bx + C) + D

A אמפליטודה |A| = גובה הגל A<0: היפוך טווח: [-|A|, |A|] B תדירות מחזור = 2π/|B| B>1: כיווץ אופקי B<1: מתיחה אופקית C הזזה אופקית פאזה = -C/B C>0: שמאלה C<0: ימינה D הזזה אנכית קו אמצע: y=D D>0: למעלה D<0: למטה סיכום הנוסחאות: אמפליטודה = |A|   |   מחזור = 2π/|B|   |   פאזה = -C/B טווח: [D - |A|, D + |A|]   |   קו אמצע: y = D מקסימום = D + |A|   |   מינימום = D - |A|
📝 דוגמה: נתונה הפונקציה y = 3sin(2x - π/2) + 1

פתרון:
• A = 3 → אמפליטודה = 3
• B = 2 → מחזור = 2π/2 = π
• C = -π/2 → פאזה = -(-π/2)/2 = π/4 (הזזה ימינה ב-π/4)
• D = 1 → קו אמצע y = 1
• טווח: [1-3, 1+3] = [-2, 4]

5. השוואת הפונקציות

y = sin x y = cos x 0 π/2 π 3π/2 2π
💡 טיפים לשרטוט גרפים:
  1. קבע את המחזור (2π/|B|)
  2. מצא את קו האמצע (y = D)
  3. סמן את נקודות המקסימום והמינימום
  4. מצא את האפסים
  5. חבר בקו רציף וחלק
🎯 לסיכום: הבנת הגרפים של הפונקציות הטריגונומטריות חיונית לפתרון משוואות ואי-שוויונות!

דוגמאות פתורות

דוגמה 1

📈 צורת גרף:

הגרף של \(y = \sin(x)\) הוא:

הצג פתרון
א גל (גלי) ✓ נכונה
ב קו ישר
ג פרבולה
ד היפרבולה
📈 גרף sin(x)

צורת הגרף:

הגרף של \(\sin(x)\) הוא גל (גלי) ✓

עולה ויורד באופן תקופתי
בצורה חלקה ורציפה

y=sin(x)1-1π3π
דוגמה 2

📍 נקודת התחלה:

הגרף של \(y = \sin(x)\) עובר דרך הראשית \((0,0)\) ומתחיל:

הצג פתרון
א עולה (שיפוע חיובי) ✓ נכונה
ב יורד (שיפוע שלילי)
ג אופקי
ד במקסימום
📍 התחלת sin(x)

ב-\(x = 0\):

\(\sin(0) = 0\) ✓

הגרף עובר דרך \((0, 0)\)

והוא עולה (שיפוע חיובי) ✓

(0,0)עולה!
דוגמה 3

⬆️ מקסימום:

הערך המקסימלי של \(\sin(x)\) הוא:

הצג פתרון
א \(1\) (ב-\(x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\)) ✓ נכונה
ב \(2\) (ב-\(x = \pi\))
ג \(\pi\) (ב-\(x = \frac{\pi}{2}\))
ד אינסוף
⬆️ מקסימום sin(x)

נקודות מקסימום:

\(\sin(x)\) מגיע ל-\(1\) (המקסימום) ✓

בנקודות: \(x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \ldots\)

כללי: \(x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) שלם)

1π/25π/2

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.