טכניקה אלגברית יא יחס
טכניקה אלגברית - יא'
יחס
📐 מהו יחס?
יחס הוא השוואה בין שתי כמויות או יותר.
סימון: \(a : b\) או \(\frac{a}{b}\)
💡 דוגמה מהחיים:
מתכון עוגה דורש 2 כוסות קמח ו-3 כוסות סוכר.
היחס בין קמח לסוכר הוא 2:3
⚖️ יחסים שקולים
כשכופלים או מחלקים את שני האיברים באותו מספר - היחס נשאר זהה!
דוגמה:
\(2:3 = 4:6 = 6:9 = 10:15\)
כולם אותו יחס! (כפלנו ב-2, ב-3, ב-5...)
צמצום יחס:
\(12:18 = 6:9 = 2:3\)
(חילקנו ב-2, אח"כ ב-3)
🧮 חלוקה ביחס נתון
💡 השיטה:
- מחברים את חלקי היחס לקבלת "סך כל החלקים"
- מחלקים את הסכום הכולל במספר החלקים
- כופלים כל חלק ביחס בערך של חלק אחד
✏️ דוגמה 1: חלקו 100 ביחס 2:3
שלב 1: סך החלקים: \(2 + 3 = 5\)
שלב 2: ערך חלק אחד: \(\frac{100}{5} = 20\)
שלב 3:
חלק ראשון: \(2 \times 20 = 40\)
חלק שני: \(3 \times 20 = 60\)
תשובה: 40 ו-60
בדיקה: \(40 + 60 = 100\) ✓
✏️ דוגמה 2: חלקו 180 ביחס 2:3:4
סך החלקים: \(2 + 3 + 4 = 9\)
ערך חלק אחד: \(\frac{180}{9} = 20\)
חלק ראשון: \(2 \times 20 = 40\)
חלק שני: \(3 \times 20 = 60\)
חלק שלישי: \(4 \times 20 = 80\)
תשובה: 40, 60 ו-80
📊 פרופורציה (יחס שווה)
פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)
💡 כלל המכפלות הצולבות:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c\)
✏️ דוגמה 3: מצאו x אם \(\frac{3}{4} = \frac{x}{20}\)
מכפלה צולבת:
\(4 \cdot x = 3 \cdot 20\)
\(4x = 60\)
\(x = 15\)
תשובה: \(x = 15\)
✏️ דוגמה 4: מצאו x אם \(\frac{x}{6} = \frac{10}{15}\)
\(15x = 6 \cdot 10\)
\(15x = 60\)
\(x = 4\)
תשובה: \(x = 4\)
📝 שאלות מילוליות
✏️ דוגמה 5: היחס בין בנים לבנות בכיתה הוא 3:2. אם יש 30 תלמידים בכיתה, כמה בנים יש?
סך החלקים: \(3 + 2 = 5\)
ערך חלק: \(\frac{30}{5} = 6\)
בנים: \(3 \times 6 = 18\)
תשובה: 18 בנים
✏️ דוגמה 6: אם 5 פועלים מסיימים עבודה ב-12 ימים, תוך כמה ימים יסיימו 10 פועלים?
זהו יחס הפוך (יותר פועלים = פחות ימים)
\(5 \times 12 = 10 \times x\)
\(60 = 10x\)
\(x = 6\)
תשובה: 6 ימים
🔄 יחס ישר ויחס הפוך
| יחס ישר | יחס הפוך |
|---|---|
| אחד עולה → השני עולה | אחד עולה → השני יורד |
| \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\) | \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\) |
| יותר סחורה = יותר כסף | יותר פועלים = פחות זמן |
💡 טיפים למבחן
צמצמו יחסים לצורה פשוטה
מכפלה צולבת לפתרון פרופורציה
בדקו: ישר או הפוך?
📝 סיכום
יחס: השוואה בין כמויות
חלוקה ביחס: סכום חלקים, ערך חלק, כפל
פרופורציה: מכפלה צולבת!