פונקציות מיוחדות 2 משפחת הפרבולה - הזזות ושינויים
פונקציות מיוחדות
דף 2: משפחת הפרבולה - הזזות ושינויים
🎯 מה נלמד?
איך לשנות את הפרבולה הבסיסית \(y = x^2\):
- הזזה למעלה/למטה
- הזזה ימינה/שמאלה
- מתיחה או כיווץ
- היפוך (פתיחה למטה)
⬆️⬇️ הזזה למעלה/למטה: \(y = x^2 + k\)
k > 0 → הפרבולה עולה למעלה ב-k יחידות
k < 0 → הפרבולה יורדת למטה ב-|k| יחידות
✏️ דוגמאות:
\(y = x^2 + 3\) → קודקוד ב-(0, 3)
\(y = x^2 - 5\) → קודקוד ב-(0, -5)
⬅️➡️ הזזה ימינה/שמאלה: \(y = (x-h)^2\)
⚠️ שימו לב - זה הפוך ממה שחושבים!
\(y = (x-h)^2\) → הפרבולה זזה ימינה ב-h
\(y = (x+h)^2\) → הפרבולה זזה שמאלה ב-h
💡 טריק לזכור:
הקודקוד נמצא ב-x שמאפס את הסוגריים!
\(y = (x-3)^2\) → הסוגריים מתאפסים כש-x = 3 → קודקוד ב-(3, 0)
\(y = (x+4)^2\) → הסוגריים מתאפסים כש-x = -4 → קודקוד ב-(-4, 0)
🔀 שילוב: \(y = (x-h)^2 + k\)
הקודקוד נמצא בנקודה (h, k)
✏️ דוגמאות:
\(y = (x-3)^2 + 2\) → קודקוד ב-(3, 2)
\(y = (x+1)^2 - 4\) → קודקוד ב-(-1, -4)
\(y = (x-5)^2 + 1\) → קודקוד ב-(5, 1)
↕️ מתיחה וכיווץ: \(y = ax^2\)
|a| > 1
פרבולה צרה יותר
"תלולה" יותר
|a| < 1
פרבולה רחבה יותר
"שטוחה" יותר
🔄 היפוך: \(y = -x^2\)
a < 0 → הפרבולה פתוחה למטה!
כש-a שלילי:
- הפרבולה הפוכה - פתוחה למטה
- הקודקוד הוא נקודת מקסימום (במקום מינימום)
- הטווח: \((-\infty, k]\)
⭐ הצורה הכללית: \(y = a(x-h)^2 + k\)
| פרמטר | משמעות |
|---|---|
| a | כיוון ורוחב (a>0 למעלה, a<0 למטה) |
| h | הזזה אופקית (x של הקודקוד) |
| k | הזזה אנכית (y של הקודקוד) |
✏️ דוגמה: \(y = -2(x-3)^2 + 5\)
- a = -2 → פתוחה למטה, צרה
- h = 3 → הקודקוד ב-x = 3
- k = 5 → הקודקוד ב-y = 5
- קודקוד: (3, 5) - נקודת מקסימום!
📝 סיכום
\(y = a(x-h)^2 + k\)
קודקוד: (h, k) | ציר סימטריה: x = h
a > 0 → למעלה 😊 | a < 0 → למטה 😞
|a| גדול → צרה | |a| קטן → רחבה