פונקציות מיוחדות פונקציית הערך המוחלט |x|
פונקציות מיוחדות
דף 7: פונקציית הערך המוחלט - \(y = |x|\)
🎯 מה זה ערך מוחלט?
הערך המוחלט של מספר הוא המרחק שלו מאפס - תמיד חיובי!
\(|x| = \begin{cases} x & \text{אם } x \geq 0 \\ -x & \text{אם } x < 0 \end{cases}\)
✏️ דוגמאות:
\(|5| = 5\) | \(|-5| = 5\) | \(|0| = 0\)
\(|-3.7| = 3.7\) | \(|2-8| = |-6| = 6\)
📊 הגרף של \(y = |x|\)
הגרף נראה כמו האות V!
⭐ תכונות פונקציית הערך המוחלט
| תכונה | ערך |
|---|---|
| תחום | ℝ (כל המספרים) |
| טווח | \([0, \infty)\) |
| קודקוד | (0, 0) - נקודת מינימום |
| ציר סימטריה | x = 0 (ציר y) |
| סימן | \(|x| \geq 0\) תמיד! |
📈📉 מונוטוניות
יורדת ↘
\(x < 0\)
בחלק השמאלי
עולה ↗
\(x > 0\)
בחלק הימני
💡 בדיוק כמו הפרבולה! אבל עם צורת V במקום U
🔀 הזזות: \(y = |x-h| + k\)
הקודקוד נמצא בנקודה (h, k)
אותם כללים כמו בפרבולה!
✏️ דוגמאות:
\(y = |x-3| + 2\) → קודקוד ב-(3, 2)
\(y = |x+1| - 4\) → קודקוד ב-(-1, -4)
🔄 היפוך: \(y = -|x|\)
\(y = -|x|\) → צורת V הפוכה (∧)
הקודקוד הופך לנקודת מקסימום!
💡 שימושים נפוצים
1. מרחק בין שתי נקודות על ציר:
המרחק בין a ל-b הוא \(|a - b|\)
דוגמה: המרחק בין 3 ל-(-2) הוא \(|3-(-2)| = |5| = 5\)
2. משוואות עם ערך מוחלט:
\(|x| = 3\) → \(x = 3\) או \(x = -3\)
\(|x-2| = 5\) → \(x-2 = 5\) או \(x-2 = -5\) → \(x = 7\) או \(x = -3\)
3. אי-שוויונות עם ערך מוחלט:
\(|x| < 3\) → \(-3 < x < 3\)
\(|x| > 3\) → \(x > 3\) או \(x < -3\)
📝 סיכום
\(y = |x|\) - צורת V
תחום: ℝ | טווח: \([0, \infty)\)
קודקוד ב-(0,0), סימטרי לציר y
\(y = |x-h| + k\) → קודקוד ב-(h, k)