הביטוי בתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי ממש!

\(\log(\text{ביטוי})\) → דורשים: \(\text{ביטוי} > 0\)

💡 למה?

הלוגריתם שואל: "לאיזו חזקה צריך להעלות את הבסיס כדי לקבל את המספר?"

בסיס חיובי בכל חזקה נותן רק מספר חיובי!

לכן אין לוגריתם מ-0 או ממספר שלילי.

⚠️ שימו לב להבדל:

שורש: ≥ 0 (כולל אפס)

לוגריתם: > 0 (לא כולל אפס!)

דוגמה 1: \(f(x) = \log(x)\)

תנאי: \(x > 0\)

תחום: \((0, \infty)\)

דוגמה 2: \(f(x) = \ln(x)\) (לוג טבעי)

תנאי: \(x > 0\)

תחום: \((0, \infty)\)

דוגמה 3: \(f(x) = \log(x - 3)\)

תנאי: \(x - 3 > 0\) → \(x > 3\)

תחום: \((3, \infty)\)

דוגמה 4: \(f(x) = \ln(5 - x)\)

תנאי: \(5 - x > 0\) → \(x < 5\)

תחום: \((-\infty, 5)\)

דוגמה 5: \(f(x) = \log(2x + 8)\)

תנאי: \(2x + 8 > 0\) → \(x > -4\)

תחום: \((-4, \infty)\)

דוגמה 6: \(f(x) = \log(x^2 - 4)\)

תנאי: \(x^2 - 4 > 0\)

פירוק: \((x-2)(x+2) > 0\)

פרבולה עם a > 0 → חיובית "בחוץ"

תחום: \(x < -2\) או \(x > 2\)

דוגמה 7: \(f(x) = \ln(-x^2 + 6x - 5)\)

תנאי: \(-x^2 + 6x - 5 > 0\)

נכפיל ב-(-1): \(x^2 - 6x + 5 < 0\)

פירוק: \((x-1)(x-5) < 0\)

פרבולה עם a > 0 → שלילית "בפנים"

תחום: \(1 < x < 5\)

דוגמה 8: \(f(x) = \log(x^2 + 1)\)

תנאי: \(x^2 + 1 > 0\)

בדיקה: \(x^2 + 1 \geq 1 > 0\) תמיד!

תחום: ℝ (כל המספרים)

דוגמה 9: \(f(x) = \sqrt{\ln(x)}\)

תנאי 1 (ln מוגדר): \(x > 0\)

תנאי 2 (שורש): \(\ln(x) \geq 0\) → \(x \geq 1\)

חיתוך: \(x > 0\) וגם \(x \geq 1\)

תחום: \(x \geq 1\)

דוגמה 10: \(f(x) = \sqrt{1 - \ln(x)}\)

תנאי 1 (ln מוגדר): \(x > 0\)

תנאי 2 (שורש): \(1 - \ln(x) \geq 0\)

\(\ln(x) \leq 1\) → \(x \leq e\)

חיתוך: \(x > 0\) וגם \(x \leq e\)

תחום: \(0 < x \leq e\)

דוגמה 11: \(f(x) = \ln(\sqrt{x} - 1)\)

תנאי 1 (השורש): \(x \geq 0\)

תנאי 2 (הלוג): \(\sqrt{x} - 1 > 0\)

\(\sqrt{x} > 1\) → \(x > 1\)

חיתוך: \(x \geq 0\) וגם \(x > 1\)

תחום: \(x > 1\)

דוגמה 12: \(f(x) = \frac{1}{\ln(x)}\)

תנאי 1 (ln מוגדר): \(x > 0\)

תנאי 2 (מכנה): \(\ln(x) \neq 0\) → \(x \neq 1\)

תחום: \(x > 0\) ו-\(x \neq 1\)

דוגמה 13: \(f(x) = \ln\left(\frac{x}{x-2}\right)\)

תנאי: \(\frac{x}{x-2} > 0\)

השבר חיובי כשמונה ומכנה באותו סימן:

שניהם חיוביים: \(x > 0\) וגם \(x > 2\) → \(x > 2\)

שניהם שליליים: \(x < 0\) וגם \(x < 2\) → \(x < 0\)

תחום: \(x < 0\) או \(x > 2\)

דוגמה 14: \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x - 3}\)

תנאי 1 (ln מוגדר): \(x > 0\)

תנאי 2 (מכנה): \(x \neq 3\)

תחום: \(x > 0\) ו-\(x \neq 3\)

דוגמה 15: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{\ln(x)}}\)

תנאי 1 (ln מוגדר): \(x > 0\)

תנאי 2 (שורש במכנה): \(\ln(x) > 0\) → \(x > 1\)

תחום: \(x > 1\)

דוגמה 16: \(f(x) = \ln(x) + \ln(4-x)\)

תנאי 1: \(x > 0\)

תנאי 2: \(4 - x > 0\) → \(x < 4\)

חיתוך: \(x > 0\) וגם \(x < 4\)

תחום: \(0 < x < 4\)

דוגמה 17: \(f(x) = \sqrt{x-1} + \ln(3-x)\)

תנאי שורש: \(x \geq 1\)

תנאי לוג: \(3 - x > 0\) → \(x < 3\)

חיתוך: \(x \geq 1\) וגם \(x < 3\)

תחום: \(1 \leq x < 3\) או \([1, 3)\)