סדרה הנדסית - מציאת איבר כללי מנוסחת סכום
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 סדרה הנדסית - מציאת איבר כללי מנוסחת סכום
סדרה הנדסית
מציאת איבר כללי מנוסחת סכום
💡 הרעיון המרכזי
לפעמים נותנים לנו נוסחה לסכום Sₙ של סדרה כלשהי, ומבקשים למצוא את האיבר הכללי aₙ.
הקשר בין סכום לאיבר:
Sₙ = סכום n האיברים הראשונים = a₁ + a₂ + ... + aₙ
Sₙ₋₁ = סכום (n-1) האיברים הראשונים = a₁ + a₂ + ... + aₙ₋₁
ההפרש:
Sₙ - Sₙ₋₁ = aₙ (האיבר ה-n)
⭐ הנוסחה למציאת aₙ מ-Sₙ
\(a_n = S_n - S_{n-1}\)
(עבור n ≥ 2)
⚠️ חשוב מאוד!
הנוסחה תקפה רק עבור n ≥ 2
את a₁ מוצאים על ידי הצבת n = 1 בנוסחת הסכום: \(a_1 = S_1\)
📋 שלבי הפתרון
מציאת a₁: הציבו n = 1 בנוסחת Sₙ לקבלת S₁ = a₁
מציאת Sₙ₋₁: בנוסחת Sₙ, החליפו כל n ב-(n-1)
חישוב aₙ: חשבו aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ ופשטו
בדיקה: ודאו שהנוסחה נותנת את a₁ כשמציבים n = 1
✏️ דוגמה 1 (מפורטת)
נתון: \(S_n = 3^n - 1\)
מצאו: את האיבר הכללי aₙ ובדקו האם זו סדרה הנדסית.
שלב 1 - מציאת a₁:
\(a_1 = S_1 = 3^1 - 1 = 3 - 1 = 2\)
שלב 2 - מציאת Sₙ₋₁:
מחליפים n ב-(n-1):
\(S_{n-1} = 3^{n-1} - 1\)
שלב 3 - חישוב aₙ (עבור n ≥ 2):
\(a_n = S_n - S_{n-1}\)
\(a_n = (3^n - 1) - (3^{n-1} - 1)\)
\(a_n = 3^n - 1 - 3^{n-1} + 1\)
\(a_n = 3^n - 3^{n-1}\)
\(a_n = 3^{n-1}(3 - 1)\)
\(a_n = 2 \cdot 3^{n-1}\)
שלב 4 - בדיקה:
נציב n = 1 בנוסחה שמצאנו:
\(a_1 = 2 \cdot 3^{1-1} = 2 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2\) ✓
מתאים! אז הנוסחה \(a_n = 2 \cdot 3^{n-1}\) תקפה לכל n ≥ 1
האם זו סדרה הנדסית?
הנוסחה \(a_n = 2 \cdot 3^{n-1}\) היא בדיוק נוסחת איבר כללי של סדרה הנדסית!
כן! זו סדרה הנדסית עם a₁ = 2 ו-q = 3
✏️ דוגמה 2
נתון: \(S_n = 5 \cdot 2^n - 5\)
מצאו: את האיבר הכללי aₙ.
שלב 1: \(a_1 = S_1 = 5 \cdot 2^1 - 5 = 10 - 5 = 5\)
שלב 2: \(S_{n-1} = 5 \cdot 2^{n-1} - 5\)
שלב 3:
\(a_n = S_n - S_{n-1} = (5 \cdot 2^n - 5) - (5 \cdot 2^{n-1} - 5)\)
\(= 5 \cdot 2^n - 5 - 5 \cdot 2^{n-1} + 5\)
\(= 5 \cdot 2^n - 5 \cdot 2^{n-1}\)
\(= 5 \cdot 2^{n-1}(2 - 1)\)
\(= 5 \cdot 2^{n-1}\)
שלב 4: בדיקה: \(a_1 = 5 \cdot 2^0 = 5\) ✓
תשובה: \(a_n = 5 \cdot 2^{n-1}\) (סדרה הנדסית עם a₁ = 5, q = 2)
⚠️ מקרה מיוחד - כשהנוסחה לא תקפה ל-n = 1
דוגמה: \(S_n = 2^n + 1\)
שלב 1: \(a_1 = S_1 = 2^1 + 1 = 3\)
שלב 2: \(S_{n-1} = 2^{n-1} + 1\)
שלב 3:
\(a_n = (2^n + 1) - (2^{n-1} + 1) = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}(2-1) = 2^{n-1}\)
שלב 4 - בדיקה:
נציב n = 1: \(2^{1-1} = 2^0 = 1\)
אבל a₁ = 3 ולא 1! ❌
💡 במקרה כזה כותבים:
\(a_n = \begin{cases} 3 & n = 1 \\ 2^{n-1} & n \geq 2 \end{cases}\)
⚠️ שימו לב: סדרה כזו אינה סדרה הנדסית כי האיבר הראשון "שובר" את הדפוס!
📝 סיכום
\(a_n = S_n - S_{n-1}\) (עבור n ≥ 2)
\(a_1 = S_1\)
תמיד לבדוק אם הנוסחה תקפה גם עבור n = 1!
דוגמאות פתורות
נתונה סדרה הנדסית שבה:
• האיבר הראשון: \(a_1 = 4\)
• המנה: \(q = 2\)
מצא את האיבר ה-4 (כלומר \(a_{4}\)).
הצג פתרון
\(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\) (כאשר \(q \neq 1\))
\(S_\infty = \frac{a_1}{1-q}\) (כאשר \(|q| < 1\))
נשתמש בנוסחה: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
\(a_{4} = 4 \cdot 2^{3}\)
\(a_{4} = 4 \cdot 8 = 32\)
נתונה סדרה הנדסית שבה:
• האיבר הראשון: \(a_1 = 4\)
• המנה: \(q = 2\)
מצא את האיבר ה-4 (כלומר \(a_{4}\)).
הצג פתרון
\(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\) (כאשר \(q \neq 1\))
\(S_\infty = \frac{a_1}{1-q}\) (כאשר \(|q| < 1\))
נשתמש בנוסחה: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
\(a_{4} = 4 \cdot 2^{3}\)
\(a_{4} = 4 \cdot 8 = 32\)
נתונה סדרה הנדסית שבה:
• האיבר הראשון: \(a_1 = 4\)
• המנה: \(q = 2\)
מצא את האיבר ה-7 (כלומר \(a_{7}\)).
הצג פתרון
\(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\) (כאשר \(q \neq 1\))
\(S_\infty = \frac{a_1}{1-q}\) (כאשר \(|q| < 1\))
נשתמש בנוסחה: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
\(a_{7} = 4 \cdot 2^{6}\)
\(a_{7} = 4 \cdot 64 = 256\)
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.