סדרה הנדסית - סכום האיברים האחרונים
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 סדרה הנדסית - סכום האיברים האחרונים
סדרה הנדסית
סכום האיברים האחרונים
🎯 מהו סכום איברים אחרונים?
לפעמים מבקשים לחשב סכום של k האיברים האחרונים בסדרה.
למשל: מתוך סדרה של 10 איברים, לחשב סכום 3 האיברים האחרונים.
⚠️ אין נוסחה ישירה!
לסכום k האיברים האחרונים לא קיימת נוסחה מיוחדת
נשתמש בשיטות חישוב אחרות
📊 שיטה 1: הפרש סכומים
סכום k איברים אחרונים = \(S_n - S_{n-k}\)
💡 הסבר:
Sₙ = סכום כל n האיברים
Sₙ₋ₖ = סכום (n-k) האיברים הראשונים
ההפרש = k האיברים האחרונים
✏️ דוגמה: בסדרה הנדסית a₁ = 2, q = 3, n = 8. חשבו את סכום 3 האיברים האחרונים.
פתרון:
סכום 3 איברים אחרונים = S₈ - S₅
\(S_8 = \frac{2(3^8 - 1)}{3-1} = \frac{2 \cdot 6560}{2} = 6560\)
\(S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3-1} = \frac{2 \cdot 242}{2} = 242\)
סכום 3 איברים אחרונים = 6560 - 242 = 6318
📊 שיטה 2: סדרה חדשה
💡 הרעיון: k האיברים האחרונים יוצרים בעצמם סדרה הנדסית עם אותה מנה q!
סכום k איברים אחרונים = \(\frac{a_{n-k+1}(q^k - 1)}{q - 1}\)
✏️ אותה דוגמה: a₁ = 2, q = 3, n = 8. סכום 3 האיברים האחרונים.
פתרון:
האיבר הראשון של 3 האחרונים: a₆ = a₈₋₃₊₁
\(a_6 = 2 \cdot 3^5 = 486\)
סכום: \(\frac{486(3^3 - 1)}{3-1} = \frac{486 \cdot 26}{2} = 6318\)
אותה תשובה! ✓
📊 שיטה 3: קשר בין סכומים
סכום k איברים אחרונים = \(S_k \cdot q^{n-k}\)
✏️ אותה דוגמה:
פתרון:
\(S_3 = \frac{2(3^3 - 1)}{3-1} = \frac{2 \cdot 26}{2} = 26\)
סכום 3 איברים אחרונים: \(26 \cdot 3^{8-3} = 26 \cdot 243 = 6318\)
אותה תשובה! ✓
📋 השוואת השיטות
| שיטה | נוסחה | מתי נוח |
|---|---|---|
| הפרש סכומים | \(S_n - S_{n-k}\) | כשיש נוסחת סכום נוחה |
| סדרה חדשה | \(\frac{a_{n-k+1}(q^k-1)}{q-1}\) | כשנתון אחד מהאיברים האחרונים |
| קשר בין סכומים | \(S_k \cdot q^{n-k}\) | כשקל לחשב Sₖ |
📝 סיכום
אין נוסחה ישירה לסכום איברים אחרונים
שיטה נוחה: Sₙ - Sₙ₋ₖ = סכום k איברים אחרונים
או: Sₖ · qⁿ⁻ᵏ
דוגמאות פתורות
נתונה סדרה הנדסית עם 6 איברים, שבה:
• האיבר הראשון: \(a_1 = 4\)
• המנה: \(q = 2\)
מצא את סכום 3 האיברים האחרונים.
הצג פתרון
\(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\) (כאשר \(q \neq 1\))
\(S_\infty = \frac{a_1}{1-q}\) (כאשר \(|q| < 1\))
סכום k איברים אחרונים = \(S_n - S_{n-k}\)
נתונה סדרה הנדסית עם 6 איברים, שבה:
• האיבר הראשון: \(a_1 = 4\)
• המנה: \(q = 2\)
מצא את סכום 3 האיברים האחרונים.
הצג פתרון
\(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\) (כאשר \(q \neq 1\))
\(S_\infty = \frac{a_1}{1-q}\) (כאשר \(|q| < 1\))
סכום k איברים אחרונים = \(S_n - S_{n-k}\)
נתונה סדרה הנדסית עם 9 איברים, שבה:
• האיבר הראשון: \(a_1 = 4\)
• המנה: \(q = 2\)
מצא את סכום 2 האיברים האחרונים.
הצג פתרון
\(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\) (כאשר \(q \neq 1\))
\(S_\infty = \frac{a_1}{1-q}\) (כאשר \(|q| < 1\))
סכום k איברים אחרונים = \(S_n - S_{n-k}\)
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.