📖 גאומטריה אנליטית - הוכחת תכונות מרובעים בגאומטריה

גאומטריה אנליטית - הישר

הוכחת תכונות מרובעים בגאומטריה אנליטית

🎯 הכלים שלנו

כדי להוכיח תכונות של מרובעים, נשתמש בכלים הבאים:

שיפוע

מקביליות וניצבות

מרחק

אורכי צלעות

אמצע קטע

אלכסונים חוצים

▱ מקבילית (Parallelogram)

הגדרה: מרובע ששני זוגות צלעות נגדיות מקבילות

🔍 איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית?

דרך 1: שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות

\(m_{AB} = m_{DC}\) וגם \(m_{AD} = m_{BC}\)

דרך 2: זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות ושוות

\(m_{AB} = m_{DC}\) וגם \(|AB| = |DC|\)

דרך 3: האלכסונים חוצים זה את זה

אמצע AC = אמצע BD

▭ מלבן (Rectangle)

הגדרה: מקבילית עם זווית ישרה (או: כל הזוויות ישרות)

🔍 איך מוכיחים שמרובע הוא מלבן?

דרך 1: קודם מוכיחים מקבילית, ואז מראים זווית ישרה

\(m_{AB} \cdot m_{AD} = -1\) (צלעות סמוכות ניצבות)

דרך 2: האלכסונים שווים וחוצים זה את זה

\(|AC| = |BD|\) ואמצע AC = אמצע BD

◇ מעוין (Rhombus)

הגדרה: מקבילית עם כל הצלעות שוות

🔍 איך מוכיחים שמרובע הוא מעוין?

דרך 1: כל 4 הצלעות שוות

\(|AB| = |BC| = |CD| = |DA|\)

דרך 2: מקבילית שהאלכסונים שלה מאונכים

\(m_{AC} \cdot m_{BD} = -1\)

□ ריבוע (Square)

הגדרה: מלבן + מעוין = כל הצלעות שוות וכל הזוויות ישרות

🔍 איך מוכיחים שמרובע הוא ריבוע?

דרך 1: מלבן עם שתי צלעות סמוכות שוות

דרך 2: מעוין עם זווית ישרה

דרך 3: 4 צלעות שוות + אלכסונים שווים

📋 טבלת סיכום - תכונות מרובעים

תכונה	מקבילית	מלבן	מעוין	ריבוע
צלעות נגדיות מקבילות	✓	✓	✓	✓
צלעות נגדיות שוות	✓	✓	✓	✓
כל הצלעות שוות	-	-	✓	✓
כל הזוויות ישרות	-	✓	-	✓
אלכסונים חוצים זה את זה	✓	✓	✓	✓
אלכסונים שווים	-	✓	-	✓
אלכסונים מאונכים	-	-	✓	✓

📝 סיכום הכלים

מקבילות: \(m_1 = m_2\)

ניצבות: \(m_1 \cdot m_2 = -1\)

אורך: \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)

אמצע: \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)

דוגמאות פתורות

מהו סוג המשולש שהקודקודים שלו הם: \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(4,3)\)?

הצג פתרון

משולש ישר זווית

✓ נכונה

משולש שווה שוקיים

משולש קהה זווית

משולש חד זוויות

AB = 4, AC = 5, BC = 3 → משפט פיתגורס → ישר זווית.

מצא את אמצע הצלע AB במשולש שבו \(A(2,6)\), \(B(8,2)\).

הצג פתרון

\((5,4)\)

✓ נכונה

\((4,5)\)

\((6,3)\)

\((3,2)\)

אמצע: \(\left(\frac{2+8}{2},\frac{6+2}{2}\right)=(5,4)\).

האם הנקודות \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(6,3)\), \(D(2,3)\) יוצרות מקבילית?

הצג פתרון

כן

✓ נכונה

לא

רק אם מחליפים בין C ל-D

לא ניתן לקבוע

AB = CD באותו כיוון, BC = AD באותו כיוון → מקבילית.

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.