📖 גאומטריה אנליטית - חיתוך ישר עם מעגל

גאומטריה אנליטית - המעגל

חיתוך ישר עם מעגל

🎯 שלושה מצבים אפשריים

⭐ השיטה - הצבה

שלב 1: מבודדים y (או x) ממשוואת הישר

שלב 2: מציבים במשוואת המעגל

שלב 3: פותרים משוואה ריבועית

שלב 4: מציבים חזרה למציאת הקואורדינטה השנייה

💡 הדיסקרימיננטה קובעת:

\(\Delta > 0\)

2 נקודות

\(\Delta = 0\)

נקודה 1

\(\Delta < 0\)

0 נקודות

✏️ דוגמה 1 - ישר החותך מעגל (2 נקודות)

שאלה: מצאו את נקודות החיתוך של \(y = x + 1\) עם \(x^2 + y^2 = 25\)

שלב 1: נציב \(y = x + 1\) במעגל:

\(x^2 + (x + 1)^2 = 25\)

שלב 2: נפתח ונפשט:

\(x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25\)

\(2x^2 + 2x - 24 = 0\)

\(x^2 + x - 12 = 0\)

שלב 3: נפתור: \((x + 4)(x - 3) = 0\)

\(x = -4\) או \(x = 3\)

שלב 4: נמצא y:

x = -4: y = -4 + 1 = -3

x = 3: y = 3 + 1 = 4

תשובה: (-4, -3) ו-(3, 4)

✏️ דוגמה 2 - ישר משיק (נקודה אחת)

שאלה: מצאו חיתוך של \(y = x + 5\) עם \(x^2 + y^2 = 12.5\)

נציב:

\(x^2 + (x + 5)^2 = 12.5\)

\(x^2 + x^2 + 10x + 25 = 12.5\)

\(2x^2 + 10x + 12.5 = 0\)

דיסקרימיננטה: \(\Delta = 100 - 4 \cdot 2 \cdot 12.5 = 100 - 100 = 0\)

\(x = \frac{-10}{4} = -2.5\)

\(y = -2.5 + 5 = 2.5\)

תשובה: נקודת השקה (-2.5, 2.5)

הישר משיק למעגל!

✏️ דוגמה 3 - ישר ומעגל זרים (אין חיתוך)

שאלה: מצאו חיתוך של \(y = x + 10\) עם \(x^2 + y^2 = 25\)

נציב:

\(x^2 + (x + 10)^2 = 25\)

\(2x^2 + 20x + 100 = 25\)

\(2x^2 + 20x + 75 = 0\)

דיסקרימיננטה: \(\Delta = 400 - 4 \cdot 2 \cdot 75 = 400 - 600 = -200\)

תשובה: אין נקודות חיתוך!

Δ < 0 → הישר והמעגל זרים

📏 חישוב אורך מיתר

מיתר = קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל

כשישר חותך מעגל ב-2 נקודות, הקטע ביניהן הוא מיתר!

✏️ דוגמה: מצאו את אורך המיתר שנוצר מחיתוך \(y = x + 1\) עם \(x^2 + y^2 = 25\)

מצאנו קודם: נקודות החיתוך הן (-4, -3) ו-(3, 4)

אורך המיתר:

\(d = \sqrt{(3-(-4))^2 + (4-(-3))^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\)

אורך המיתר: \(7\sqrt{2}\)

📝 סיכום

למציאת חיתוך: מציבים משוואת הישר במעגל

Δ > 0 → חותך | Δ = 0 → משיק | Δ < 0 → זרים

דוגמאות פתורות

📐 חיתוך ישר עם מעגל:

איך מוצאים נקודות חיתוך של ישר \(y=mx+n\) עם מעגל?

הצג פתרון

א מציבים את \(y=mx+n\) במשוואת המעגל ופותרים משוואה ריבועית ✓ נכונה

ב מציבים \(x=0\)

ג מחשבים את המרחק בלבד

ד משווים את המקדמים

💡 הסבר מפורט:

חיתוך ישר עם מעגל! 📐

📐 חיתוך ישר עם מעגל:

💡 השיטה:

הצבה!

1️⃣ ישר: \(y=mx+n\)
2️⃣ מעגל: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

השלבים:

שלב 1: הצב \(y=mx+n\) במשוואת המעגל

\((x-a)^2+(mx+n-b)^2=r^2\)

שלב 2: פתח סוגריים → משוואה ריבועית

\(Ax^2+Bx+C=0\)

שלב 3: פתור עם דיסקרימיננטה

📊 דוגמה:

מעגל: \(x^2+y^2=25\)
ישר: \(y=x+1\)

פתרון:

הצבה:
\(x^2+(x+1)^2=25\)

פתיחה:
\(x^2+x^2+2x+1=25\)

\(2x^2+2x-24=0\)

\(x^2+x-12=0\)

\((x+4)(x-3)=0\)

\(x=-4\) או \(x=3\)

נקודות:
\(x=-4\) → \(y=-3\) → \((-4,-3)\)
\(x=3\) → \(y=4\) → \((3,4)\)

🎨 ויזואליזציה:

הכלל הזהב:

הצבה → משוואה ריבועית → פתרון!

🎯 לזכור:

הצבת הישר במעגל
↓
משוואה ריבועית
↓
דיסקרימיננטה!

🔢 דיסקרימיננטה:

אם הדיסקרימיננטה \(\Delta > 0\), כמה נקודות חיתוך יש?

הצג פתרון

א \(2\) נקודות חיתוך - הישר חותך את המעגל ✓ נכונה

ב \(1\) נקודה - משיק

ג \(0\) נקודות

ד \(3\) נקודות

💡 הסבר:

דיסקרימיננטה וחיתוך! 🔢

דיסקרימיננטה:

משוואה ריבועית:

\(Ax^2+Bx+C=0\)

דיסקרימיננטה:
\(\Delta = B^2-4AC\)

שלוש אפשרויות:

1️⃣ \(\Delta > 0\)
→ שני פתרונות
→ 2 נקודות חיתוך ✓

2️⃣ \(\Delta = 0\)
→ פתרון אחד
→ משיק (נקודה אחת)

3️⃣ \(\Delta < 0\)
→ אין פתרון ממשי
→ אין חיתוך

\(\Delta > 0\) → \(2\) חיתוכים!

📏 משיק:

מתי ישר הוא משיק למעגל?

הצג פתרון

א כאשר \(\Delta = 0\) - דיסקרימיננטה אפס ✓ נכונה

ב כאשר \(\Delta > 0\)

ג כאשר \(\Delta < 0\)

ד תמיד

💡 הסבר:

תנאי למשיק! 📏

משיק למעגל:

הגדרה:

משיק = ישר שנוגע במעגל
בנקודה אחת בדיוק!

תנאי מתמטי:

משוואה ריבועית:
\(Ax^2+Bx+C=0\)

למשיק:
\(\Delta = B^2-4AC = 0\)

פתרון יחיד → נקודת מגע אחת!

דוגמה:

מעגל: \(x^2+y^2=25\)
ישר: \(y=5\)

הצבה:
\(x^2+25=25\)
\(x^2=0\)
\(x=0\)

נקודה אחת: \((0,5)\)
משיק! ✓

תנאי: \(\Delta = 0\)

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.