📖 גאומטריה אנליטית - משוואת משיק למעגל

גאומטריה אנליטית - המעגל

משוואת משיק למעגל

🎯 מהו משיק?

משיק למעגל הוא ישר הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד.

תכונה חשובה:

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה!

⭐ נוסחת המשיק בנקודה על המעגל

עבור מעגל \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)

משוואת המשיק בנקודה \(P(x_0, y_0)\) על המעגל:

\((x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2\)

💡 מקרה מיוחד - מעגל עם מרכז בראשית:

עבור \(x^2 + y^2 = r^2\), המשיק בנקודה \((x_0, y_0)\):

\(x_0 \cdot x + y_0 \cdot y = r^2\)

✏️ דוגמה 1 - מעגל עם מרכז בראשית

שאלה: מצאו את משוואת המשיק למעגל \(x^2 + y^2 = 25\) בנקודה (3, 4).

בדיקה: האם (3, 4) על המעגל?

\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) ✓

פתרון: נציב בנוסחה \(x_0 \cdot x + y_0 \cdot y = r^2\):

\(3x + 4y = 25\)

משוואת המשיק: \(3x + 4y = 25\)

✏️ דוגמה 2 - מעגל עם מרכז כללי

שאלה: מצאו את משוואת המשיק למעגל \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25\) בנקודה (5, 7).

נתונים: מרכז (2, 3), רדיוס 5, נקודת השקה (5, 7)

בדיקה: \((5-2)^2 + (7-3)^2 = 9 + 16 = 25\) ✓

פתרון: נציב בנוסחה:

\((5 - 2)(x - 2) + (7 - 3)(y - 3) = 25\)

\(3(x - 2) + 4(y - 3) = 25\)

\(3x - 6 + 4y - 12 = 25\)

\(3x + 4y = 43\)

משוואת המשיק: \(3x + 4y = 43\)

🔄 שיטה חלופית - שימוש בניצבות

הרעיון: המשיק מאונך לרדיוס, אז נמצא את שיפוע הרדיוס ונהפוך אותו!

✏️ דוגמה: מצאו משיק למעגל \(x^2 + y^2 = 25\) בנקודה (3, 4)

שלב 1: שיפוע הרדיוס מ-(0,0) ל-(3,4):

\(m_r = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}\)

שלב 2: שיפוע המשיק (ניצב לרדיוס):

\(m_t = -\frac{1}{m_r} = -\frac{3}{4}\)

שלב 3: משוואת המשיק (נקודה-שיפוע):

\(y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)\)

\(4y - 16 = -3x + 9\)

\(3x + 4y = 25\)

אותה תוצאה! \(3x + 4y = 25\)

📐 משיקים אופקיים ואנכיים

למעגל \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\):

משיקים אופקיים: \(y = b + r\) ו-\(y = b - r\)
משיקים אנכיים: \(x = a + r\) ו-\(x = a - r\)

📝 סיכום

נוסחת משיק: \((x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2\)

מעגל בראשית: \(x_0 x + y_0 y = r^2\)

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה!

דוגמאות פתורות

📏 משיק למעגל:

מה התנאי שישר יהיה משיק למעגל?

הצג פתרון

א המרחק מהמרכז לישר שווה לרדיוס, או דיסקרימיננטה \(\Delta = 0\) ✓ נכונה

ב הישר עובר דרך המרכז

ג הישר מקביל לציר

ד הרדיוס גדול מ-\(1\)

💡 הסבר מפורט:

משיק למעגל - הגדרה! 📏

📏 משיק למעגל:

💡 ההגדרה:

משיק = ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת בדיוק!

שתי דרכים לבדוק:

דרך 1: מרחק
המרחק מהמרכז לישר \(= r\)

דרך 2: דיסקרימיננטה
הצבת הישר במעגל נותנת \(\Delta = 0\)

📐 נוסחת מרחק:

מרחק מנקודה לישר:

ישר: \(Ax+By+C=0\)
נקודה: \((x_0,y_0)\)

מרחק:
\(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

למשיק:
\(d = r\)

🎨 ויזואליזציה:

תכונה חשובה:

המשיק ניצב לרדיוס
בנקודת המגע! ⊥

🎯 לזכור:

תנאי למשיק:
• מרחק \(= r\)
• \(\Delta = 0\)
• ניצב לרדיוס!

➡️ משיק אופקי:

מצא משיק אופקי למעגל \(x^2+(y-3)^2=16\).

הצג פתרון

א \(y=7\) ו-\(y=-1\) ✓ נכונה

ב \(y=4\) ו-\(y=2\)

ג \(y=3\)

ד \(y=16\)

💡 הסבר:

משיק אופקי! ➡️

ניתוח:

נתונים:

מעגל: \(x^2+(y-3)^2=16\)

מרכז: \((0,3)\)
רדיוס: \(r=4\)

משיק אופקי:

משיק אופקי: \(y=k\)

המרחק מהמרכז \((0,3)\) לישר \(y=k\)
הוא \(|k-3|\)

תנאי למשיק:
\(|k-3| = 4\)

פתרון:

\(|k-3| = 4\)

אפשרות 1:
\(k-3=4\)
\(k=7\)
משיק: \(y=7\)

אפשרות 2:
\(k-3=-4\)
\(k=-1\)
משיק: \(y=-1\)

תשובה:
\(y=7\) ו-\(y=-1\)

📏 משיק אנכי:

מצא משיק אנכי למעגל \((x-2)^2+y^2=9\).

הצג פתרון

א \(x=5\) ו-\(x=-1\) ✓ נכונה

ב \(x=2\)

ג \(x=9\) ו-\(x=-9\)

ד \(x=3\) ו-\(x=1\)

💡 הסבר:

משיק אנכי! 📏

פתרון:

נתונים:

מעגל: \((x-2)^2+y^2=9\)

מרכז: \((2,0)\)
רדיוס: \(r=3\)

משיק אנכי:

משיק אנכי: \(x=k\)

המרחק מהמרכז \((2,0)\) לישר \(x=k\)
הוא \(|k-2|\)

תנאי למשיק:
\(|k-2| = 3\)

פתרון:

\(|k-2| = 3\)

אפשרות 1:
\(k-2=3\)
\(k=5\)
משיק: \(x=5\)

אפשרות 2:
\(k-2=-3\)
\(k=-1\)
משיק: \(x=-1\)

תשובה:
\(x=5\) ו-\(x=-1\)

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.