גאומטריה - זווית היקפית על קוטר
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 גאומטריה - זווית היקפית על קוטר
מעגל - חלק ג'
זווית היקפית על קוטר
⭐ משפט: זווית היקפית על קוטר = 90°
זווית היקפית הנשענת על קוטר = 90°
💡 למה?
הקוטר "פותח" קשת של חצי מעגל = 180°
זווית היקפית = ½ × 180° = 90°
🔄 המשפט ההפוך (חשוב מאוד!)
זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר!
💡 במילים אחרות:
אם יש זווית היקפית של 90° - המיתר שהיא נשענת עליו הוא קוטר!
🔗 קשר למשולש ישר זווית:
אפשר לחסום כל משולש ישר זווית במעגל כך שהיתר הוא הקוטר!
מרכז המעגל = אמצע היתר
💡 שימושים נפוצים
1. זיהוי קוטר:
אם זווית היקפית = 90° → המיתר שמתחתיה הוא קוטר
2. מציאת מרכז מעגל:
יש משולש ישר זווית חסום במעגל? המרכז באמצע היתר!
3. בניית זווית ישרה:
רוצים לבנות זווית ישרה? ציירו מעגל, קוטר, ונקודה על המעגל!
🌍 דוגמאות מהחיים
⚽ מגרש כדורגל:
אזור הפנדל מבוסס על עיקרון זה - מכל נקודה על קשת מסוימת, הזווית לשער קבועה!
📷 צילום:
כשמצלמים עצם עגול (כמו מטבע), הזווית שרואים אותו תלויה במרחק מהמרכז.
🏛️ אמפיתיאטרון:
התיאטראות העתיקים נבנו בצורת חצי עיגול - כל הצופים רואים את הבמה באותה זווית!
✏️ תרגיל
שאלה: במשולש ABC, הזווית C = 90°. המשולש חסום במעגל עם רדיוס 5 ס"מ.
מהו אורך היתר AB?
פתרון:
- הזווית C = 90° היא זווית היקפית
- לכן AB הוא קוטר (מהמשפט ההפוך)
- קוטר = 2 × רדיוס = 2 × 5 = 10 ס"מ
📝 סיכום דף 10
זווית היקפית על קוטר = 90°
זווית היקפית 90° → נשענת על קוטר
משולש ישר זווית במעגל → היתר = קוטר
דוגמאות פתורות
📐 משפט תאלס:
שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית
מקצים עליהם:
הצג פתרון
קטעים פרופורציוניים
✓ נכונהקטעים שווים
קטעים אקראיים
קטעים הפוכים
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: מהו קטע אמצעים? 🔍
|
קטע אמצעים ✨
קטע המחבר את
אמצעי שני צלעות במשולש |
שלב 2: התמונה 📊
במשולש ABC:
D אמצע AB, E אמצע AC DE הוא קטע אמצעים |
שלב 3: תכונות 💭
| 2 תכונות חשובות: 🔹 DE || BC (מקביל לצלע השלישית) 🔹 DE = ½BC (חצי מהצלע השלישית) |
תשובה: הקטע המחבר אמצעי שתי צלעות
📐 משפט תאלס:
שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית
מקצים עליהם:
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: משפט תאלס 🔍
משפט תאלס ✨ שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים |
שלב 2: שרטוט 📊
שלב 3: משמעות פרופורציה 💭
| פרופורציה פירושה: 🔹 היחס בין הקטעים על שוק אחד 🔹 שווה ליחס בין הקטעים על השוק השני נוסחה: a/b = c/d או: a/c = b/d |
תשובה: קטעים פרופורציוניים
🎯 חישוב:
שני ישרים מקבילים חותכים שוקי זווית.
על שוק אחד: 3 ו-6.
על השוק השני: 4 ו-x.
מה x?
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: הנתונים 🔍
| נתון: 🔹 שוק 1: קטעים 3 ו-6 🔹 שוק 2: קטעים 4 ו-x 🔹 x = ? |
שלב 2: שרטוט 📊
שלב 3: משפט תאלס 📐
| 3/6 = 4/x או: 3/4 = 6/x |
שלב 4: חישוב 💭
| 3/6 = 4/x 3x = 6 × 4 3x = 24 x = 24 ÷ 3 x = 8 |
שלב 5: בדיקה ✓
| 3/6 = 4/8? 1/2 = 1/2 ✓ נכון! |
תשובה: 8
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.