גאומטריה של המישור - משפטי דמיון צ.צ.צ. ו-צ.ז.צ
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 גאומטריה של המישור - משפטי דמיון צ.צ.צ. ו-צ.ז.צ
גאומטריה של המישור
דף 8: משפטי דמיון צ.צ.צ. ו-צ.ז.צ.
📚 שלושת משפטי הדמיון
יש שלושה משפטי דמיון שמאפשרים להוכיח שמשולשים דומים:
⭐ משפט דמיון צ.צ.צ. (צלע-צלע-צלע)
אם שלוש צלעות של משולש אחד מתייחסות
באותו יחס לשלוש צלעות של משולש שני,
אז המשולשים דומים.
DE/AB = EF/BC = DF/AC = k
↓
△ABC ~ △DEF
💡 בדוגמה:
12/6 = 10/5 = 8/4 = 2
כל הצלעות ביחס 2 → המשולשים דומים!
✏️ דוגמה: שימוש בצ.צ.צ.
שאלה: האם המשולשים דומים?
משולש ABC: AB = 9, BC = 12, AC = 15
משולש DEF: DE = 6, EF = 8, DF = 10
פתרון:
נבדוק את היחסים בין צלעות מתאימות:
AB/DE = 9/6 = 1.5
BC/EF = 12/8 = 1.5
AC/DF = 15/10 = 1.5
כל היחסים שווים! לפי צ.צ.צ.: △ABC ~ △DEF עם יחס דמיון k = 1.5
⭐ משפט דמיון צ.ז.צ. (צלע-זווית-צלע)
אם שתי צלעות של משולש אחד מתייחסות
באותו יחס לשתי צלעות מתאימות במשולש השני,
והזווית שבין הצלעות שווה,
אז המשולשים דומים.
AB/DE = AC/DF וגם ∠A = ∠D
↓
△ABC ~ △DEF
⚠️ חשוב: הזווית חייבת להיות הזווית הכלואה בין שתי הצלעות!
זווית אחרת לא תעבוד.
✏️ דוגמה: שימוש בצ.ז.צ.
שאלה: במשולש ABC: AB = 8, AC = 12, ∠A = 50°
במשולש DEF: DE = 4, DF = 6, ∠D = 50°
הוכיחו שהמשולשים דומים ומצאו את יחס הדמיון.
פתרון:
בדיקת יחס הצלעות הכולאות את הזווית:
AB/DE = 8/4 = 2
AC/DF = 12/6 = 2
בדיקת הזווית הכלואה:
∠A = ∠D = 50° ✓
לפי צ.ז.צ.: △ABC ~ △DEF
יחס הדמיון: k = 2
📊 טבלת השוואה: שלושת משפטי הדמיון
| משפט | מה צריך לבדוק? | מתי נשתמש? |
|---|---|---|
| ז.ז. | 2 זוויות שוות | יש מידע על זוויות, קווים מקבילים, זווית משותפת |
| צ.צ.צ. | 3 זוגות צלעות ביחס שווה | יש מידע על כל 6 הצלעות |
| צ.ז.צ. | 2 צלעות ביחס + זווית ביניהן | יש 2 זוגות צלעות + הזווית הכלואה |
💡 טיפ: בחרו את המשפט לפי המידע שנתון לכם בשאלה!
🔄 דמיון מול חפיפה - השוואת המשפטים
| חפיפה | דמיון |
|---|---|
| צ.ז.צ. - צלעות שוות | צ.ז.צ. - צלעות ביחס |
| ז.צ.ז. - צלע שווה | ז.ז. (מספיק 2 זוויות!) |
| צ.צ.צ. - צלעות שוות | צ.צ.צ. - צלעות ביחס |
שימו לב: בדמיון אין משפט ז.צ.ז.!
הסיבה: בדמיון לא מספיק לדעת שצלע אחת ביחס - צריך לפחות שתיים.
📝 סיכום דף 8 - צ.צ.צ. וצ.ז.צ.
צ.צ.צ.: כל 3 הצלעות ביחס שווה → דומים
צ.ז.צ.: 2 צלעות ביחס + זווית כלואה שווה → דומים
בחירת משפט: לפי המידע הנתון בשאלה
ז.ז. הכי נפוץ! צ.צ.צ. ו-צ.ז.צ. כשיש מידע על צלעות
דוגמאות פתורות
📐 משפט צ.צ.צ.:
שני משולשים דומים אם:
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: משפט צ.צ.צ. 🔍
צלע-צלע-צלע ✨ 3 צלעות במשולש אחד פרופורציונליות ל 3 צלעות במשולש שני (אותו יחס!) ↓ המשולשים דומים |
שלב 2: דוגמה ויזואלית 📊
שלב 3: התנאים 💭
| מה צריך לבדוק: ✅ צלע 1: יחס הצלעות הראשונות ✅ צלע 2: יחס הצלעות השניות ✅ צלע 3: יחס הצלעות השלישיות חשוב: כל שלושת היחסים חייבים להיות שווים! |
שלב 4: דוגמה מספרית 🔢
| משולש 1: 3, 4, 5 משולש 2: 6, 8, 10 6/3 = 2 8/4 = 2 10/5 = 2 כל היחסים שווים → דומים! |
תשובה: שלוש צלעות במשולש אחד פרופורציונליות לשלוש צלעות במשולש שני
✓ זיהוי דמיון:
משולש ABC: צלעות 6, 8, 10
משולש DEF: צלעות 3, 4, 5
האם דומים לפי צ.צ.צ.?
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: הנתונים 🔍
| משולש ABC: 🔹 צלעות: 6, 8, 10 משולש DEF: 🔹 צלעות: 3, 4, 5 |
שלב 2: חישוב יחסים 📐
| יחס ראשון: 6/3 = 2 יחס שני: 8/4 = 2 יחס שלישי: 10/5 = 2 כל היחסים שווים! |
שלב 3: מסקנה ✨
כן! דומים ✓ ✅ כל 3 היחסים = 2 ✅ תקיים משפט צ.צ.צ. ✅ לא צריך מידע על זוויות! ΔABC ~ ΔDEF יחס דמיון: 2:1 |
שלב 4: שרטוט 📊
שלב 5: הערה חשובה 💭
| שימו לב: 🔹 שני המשולשים הם משולשי פיתגורס 🔹 אבל זה לא הסיבה שהם דומים 🔹 הם דומים כי כל היחסים שווים 🔹 זה עובד גם למשולשים שאינם ישרי זווית |
תשובה: כן - כל היחסים 2:1
🔢 חישוב יחס:
משולש ABC: צלעות 5, 7, 9
משולש DEF: צלעות 10, 14, 18
מה יחס הדמיון ABC:DEF?
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: הנתונים 🔍
| משולש ABC: 🔹 צלעות: 5, 7, 9 משולש DEF: 🔹 צלעות: 10, 14, 18 |
שלב 2: חישוב יחסים 📐
| 10/5 = 2 14/7 = 2 18/9 = 2 DEF גדול פי 2 מ-ABC |
שלב 3: יחס הדמיון 💭
| יחס ABC:DEF ABC הוא הקטן DEF הוא הגדול 5:10 = 1:2 (ABC קטן פי 2) |
שלב 4: שרטוט 📊
שלב 5: הסבר 🔍
| פירוט: 🔹 5 → 10 (פי 2) 🔹 7 → 14 (פי 2) 🔹 9 → 18 (פי 2) כל צלע ב-DEF גדולה פי 2 לכן היחס: 1:2 |
תשובה: 1:2
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.