📖 גאומטריה משפטים - משפט פיתגורס ומשולש ישר זווית

משפטים בגאומטריה

דף 10: משפט פיתגורס ומשולש ישר זווית

⭐ משפט פיתגורס (ניתן לצטט בשם!)

a² + b² = c²

סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר

💡 שלשות פיתגורס נפוצות:

3, 4, 5 | 5, 12, 13 | 8, 15, 17 | 7, 24, 25

🔄 משפט פיתגורס ההפוך

משולש שבו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית - הוא משולש ישר זווית

💡 שימוש:

רוצים לבדוק אם משולש הוא ישר זווית? בדקו אם a² + b² = c²!

📏 תיכון ליתר

משפט 1:

במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר

משפט 2: (הפוך)

משולש שבו תיכון שווה למחצית הצלע שהוא חוצה - הוא משולש ישר זווית

📐 משולש 30°-60°-90°

משפט 3:

במשולש ישר זווית עם זווית 30°, הניצב מול זווית זו שווה למחצית היתר

משפט 4: (הפוך)

במשולש ישר זווית, אם ניצב שווה למחצית היתר - מול ניצב זה זווית 30°

💡 יחסי הצלעות במשולש 30-60-90:

ניצב קצר : ניצב ארוך : היתר = 1 : √3 : 2

📝 סיכום דף 10

פיתגורס: a² + b² = c²

תיכון ליתר = ½ היתר

30-60-90: ניצב מול 30° = ½ היתר

דוגמאות פתורות

📐 משפט הסינוסים:
מהי הנוסחה הנכונה של משפט הסינוסים?

הצג פתרון

א a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) ✓ נכונה

ב a·sin(A) = b·sin(B) = c·sin(C)

ג a² = b² + c² - 2bc·cos(A)

ד a/cos(A) = b/cos(B) = c/cos(C)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט הסינוסים 🔍

💡 משפט הסינוסים קובע יחס קבוע בין צלע לסינוס הזווית שמולה:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם!

שלב 2: המחשה 📊

שלב 3: מתי משתמשים? 🎯

משתמשים במשפט הסינוסים כאשר:

✓ נתונה צלע + הזווית שמולה + עוד משהו
✓ נתונות שתי זוויות + צלע אחת
✓ רוצים למצוא רדיוס מעגל חוסם

צלע חלקי סינוס הזווית שמולה = קבוע!

תשובה: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

🎯 צלע מול זווית:
במשולש ABC, הזווית A היא 50°.

איזו צלע נמצאת מול זווית A?

הצג פתרון

א הצלע a (מ-B ל-C) ✓ נכונה

ב הצלע b (מ-A ל-C)

ג הצלע c (מ-A ל-B)

ד אין צלע מול הזווית

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הכלל החשוב! 🔍

💡 כלל הזהב:

הצלע שמול זווית A נקראת a
הצלע שמול זווית B נקראת b
הצלע שמול זווית C נקראת c

⚠️ הצלע שמול = הצלע שלא נוגעת בקודקוד!

שלב 2: המחשה 📊

שלב 3: הסבר 🎯

הצלע a:

• מחברת בין B ל-C
• לא נוגעת בקודקוד A
• נמצאת מול (ממול) זווית A

לכן a היא הצלע מול זווית A!

תשובה: הצלע a (מ-B ל-C)

🧮 חישוב בסיסי:
במשולש: a = 10, זווית A = 30°, זווית B = 45°.

מהו אורך הצלע b?

💡 נתון: sin(30°) = 0.5, sin(45°) ≈ 0.707

הצג פתרון

א 14.14 ✓ נכונה

ב 7.07

ג 10

ד 20

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
a = 10
∠A = 30°
∠B = 45°

צריך למצוא: b = ?

שלב 2: הצבה במשפט הסינוסים 📊

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

חישוב:

a/sin(A) = b/sin(B)

10/sin(30°) = b/sin(45°)

10/0.5 = b/0.707

20 = b/0.707

b = 20 × 0.707 = 14.14

תשובה: 14.14

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.