גאומטריה משפטים - משיקים ומיתרים במעגל
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 גאומטריה משפטים - משיקים ומיתרים במעגל
משפטים בגאומטריה
דף 9: משיקים ומיתרים במעגל
📐 משיק למעגל
משפט 1:
המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
משפט 2: (הפוך)
ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל
⭐ זווית בין משיק ומיתר (ניתן לצטט בשם!)
משפט 3: זווית בין משיק ומיתר
זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני
💡 הסבר:
משפט זה הוא אחד מהמשפטים שניתן לצטט בשם בלבד בבגרות!
הזווית בין המשיק למיתר שווה לזווית ההיקפית "מהצד השני" של המיתר.
✌️ שני משיקים מנקודה חיצונית
משפט 4:
שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה - שווים זה לזה
משפט 5:
קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים - חוצה את הזווית שבין המשיקים
📏 מיתרים במעגל
משפט 6:
מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל
משפט 7: (הפוך)
מיתרים הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז - שווים זה לזה
משפט 8:
מיתר שמרחקו מהמרכז קטן יותר - ארוך יותר
(מיתר קרוב למרכז = מיתר ארוך)
משפט 9: אנך מהמרכז למיתר
האנך ממרכז המעגל למיתר:
- חוצה את המיתר
- חוצה את הזווית המרכזית
- חוצה את הקשת
משפט 10: (הפוך)
קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר - מאונך למיתר
⚪⚪ שני מעגלים
משפט 11:
קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו
משפט 12:
נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו
📝 סיכום דף 9
משיק ⊥ רדיוס בנקודת ההשקה
זווית משיק-מיתר = זווית היקפית מהצד השני
שני משיקים מנקודה - שווים
אנך למיתר - חוצה הכל
דוגמאות פתורות
📐 משפט תאלס:
שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית
מקצים עליהם:
הצג פתרון
קטעים פרופורציוניים
✓ נכונהקטעים שווים
קטעים אקראיים
קטעים הפוכים
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: מהו קטע אמצעים? 🔍
|
קטע אמצעים ✨
קטע המחבר את
אמצעי שני צלעות במשולש |
שלב 2: התמונה 📊
במשולש ABC:
D אמצע AB, E אמצע AC DE הוא קטע אמצעים |
שלב 3: תכונות 💭
| 2 תכונות חשובות: 🔹 DE || BC (מקביל לצלע השלישית) 🔹 DE = ½BC (חצי מהצלע השלישית) |
תשובה: הקטע המחבר אמצעי שתי צלעות
📐 משפט תאלס:
שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית
מקצים עליהם:
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: משפט תאלס 🔍
משפט תאלס ✨ שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים |
שלב 2: שרטוט 📊
שלב 3: משמעות פרופורציה 💭
| פרופורציה פירושה: 🔹 היחס בין הקטעים על שוק אחד 🔹 שווה ליחס בין הקטעים על השוק השני נוסחה: a/b = c/d או: a/c = b/d |
תשובה: קטעים פרופורציוניים
🎯 חישוב:
שני ישרים מקבילים חותכים שוקי זווית.
על שוק אחד: 3 ו-6.
על השוק השני: 4 ו-x.
מה x?
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: הנתונים 🔍
| נתון: 🔹 שוק 1: קטעים 3 ו-6 🔹 שוק 2: קטעים 4 ו-x 🔹 x = ? |
שלב 2: שרטוט 📊
שלב 3: משפט תאלס 📐
| 3/6 = 4/x או: 3/4 = 6/x |
שלב 4: חישוב 💭
| 3/6 = 4/x 3x = 6 × 4 3x = 24 x = 24 ÷ 3 x = 8 |
שלב 5: בדיקה ✓
| 3/6 = 4/8? 1/2 = 1/2 ✓ נכון! |
תשובה: 8
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.