\(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\)

💡 במילים: F(x) מודדת כמה שטח נצבר מתחת לגרף f מהנקודה a עד הנקודה x.

F(x) = השטח הצבוע (מ-a עד x)

ככל ש-x גדל → השטח גדל → F(x) גדל

אם \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\), אז:

\(F'(x) = f(x)\)

💡 במילים פשוטות:

הנגזרת של פונקציה צוברת שטח היא הפונקציה שמתחתיה צוברים!

🔄 הקשר:

אינטגרל וגזירה הן פעולות הפוכות - הנגזרת "מבטלת" את האינטגרל!

נתונה: \(F(x) = \int_1^x (3t^2 + 2t) \, dt\)

מצאו: \(F'(x)\)

פתרון:

תשובה: \(F'(x) = 3x^2 + 2x\)

💡 שימו לב: פשוט מציבים x במקום t בפונקציה שבתוך האינטגרל!

אם \(F(x) = \int_a^{g(x)} f(t) \, dt\), אז:

\(F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)\)

💡 במילים:

1. מציבים את הגבול העליון בפונקציה: \(f(g(x))\)
2. כופלים בנגזרת של הגבול העליון: \(g'(x)\)

נתונה: \(F(x) = \int_0^{x^2} \sin t \, dt\)

מצאו: \(F'(x)\)

פתרון:

תשובה: \(F'(x) = 2x\sin(x^2)\)

נתונה: \(F(x) = \int_1^{e^x} \frac{1}{t} \, dt\)

מצאו: \(F'(x)\)

פתרון:

תשובה: \(F'(x) = 1\)

אם \(F(x) = \int_{h(x)}^a f(t) \, dt\), אז:

\(F'(x) = -f(h(x)) \cdot h'(x)\)

💡 שימו לב למינוס! כי כשהגבול התחתון גדל, השטח קטן.

אם \(F(x) = \int_{h(x)}^{g(x)} f(t) \, dt\), אז:

\(F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) - f(h(x)) \cdot h'(x)\)

💡 לזכור: גבול עליון עם פלוס, גבול תחתון עם מינוס!

נתונה: \(F(x) = \int_x^{x^2} t^3 \, dt\)

מצאו: \(F'(x)\)

פתרון:

תשובה: \(F'(x) = 2x^7 - x^3\)

דוגמה: נתונה \(F(x) = \int_0^x (t^2 + 1) \, dt\)

חשבו: \(F(0)\), \(F(2)\), \(F(-1)\)

דוגמה: נתונה \(F(x) = \int_0^x (t^2 - 4) \, dt\)

מצאו את נקודות הקיצון של F.

פתרון:

תשובה: מקסימום ב-\(x = -2\), מינימום ב-\(x = 2\)

💡 תובנה: נקודות הקיצון של F הן בדיוק השורשים של f!

המשפט היסודי: הנגזרת של פונקציה צוברת היא הפונקציה שבתוך האינטגרל

גבול משתנה → כופלים בנגזרת שלו