\(\int 3\sin x \, dx - \int 2\cos x \, dx\)

\(= 3 \cdot (-\cos x) - 2 \cdot \sin x + C\)

\(= -3\cos x - 2\sin x + C\)

\(\Big[ \sin x \Big]_0^{\frac{\pi}{2}}\)

\(= \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0\)

\(= 1 - 0 = 1\)

זהות יסודית

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

זהויות זווית כפולה (חשוב מאוד!)

\(\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\)

\(\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\)

זהויות מכפלה לסכום

\(\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)\)

שלב 1: משתמשים בזהות

\(\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\)

שלב 2: מציבים באינטגרל

\(\int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx\)

שלב 3: פותרים

\(= \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin(2x)}{2} \right) + C\)

\(= \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C\)

תבנית 1: \(\int \sin^n x \cos x \, dx\)

הצבה: \(u = \sin x\), \(du = \cos x \, dx\)

תוצאה: \(\frac{\sin^{n+1} x}{n+1} + C\)

תבנית 2: \(\int \cos^n x \sin x \, dx\)

הצבה: \(u = \cos x\), \(du = -\sin x \, dx\)

תוצאה: \(-\frac{\cos^{n+1} x}{n+1} + C\)

תבנית 3: \(\int \frac{\sin x}{\cos^n x} \, dx\)

הצבה: \(u = \cos x\)

תוצאה: \(\frac{1}{(n-1)\cos^{n-1} x} + C\)

הצבה: \(u = \sin x\)

\(du = \cos x \, dx\)

האינטגרל הופך ל:

\(\int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C\)

חזרה ל-x:

\(= \frac{\sin^4 x}{4} + C\)

הצבה: \(u = \cos x\)

\(du = -\sin x \, dx\) → \(\sin x \, dx = -du\)

האינטגרל הופך ל:

\(\int u^4 \cdot (-du) = -\frac{u^5}{5} + C\)

חזרה ל-x:

\(= -\frac{\cos^5 x}{5} + C\)

כותבים מחדש:

\(\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx\)

הצבה: \(u = \cos x\), \(du = -\sin x \, dx\)

\(= \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C\)

חזרה ל-x:

\(= -\ln|\cos x| + C\)

שיטה 1: זהות

\(\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)\)

\(\int \frac{1}{2}\sin(2x) \, dx = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C\)

שיטה 2: הצבה (\(u = \sin x\))

\(\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{\sin^2 x}{2} + C\)

הצבה: \(u = \sin x\), \(du = \cos x \, dx\)

החלפת גבולות:

כש-\(x = 0\): \(u = \sin 0 = 0\)

כש-\(x = \frac{\pi}{2}\): \(u = \sin\frac{\pi}{2} = 1\)

האינטגרל:

\(\int_0^1 u^2 \, du = \Big[ \frac{u^3}{3} \Big]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\)

1️⃣ מינוס ב-sin

אינטגרל של sin נותן מינוס cos

2️⃣ חלק במקדם

\(\sin(ax)\) → חלק ב-a

3️⃣ sin² ו-cos²

השתמשו בזהויות זווית כפולה

4️⃣ חזקה × נגזרת

\(\sin^n x \cdot \cos x\) → הצבה \(u = \sin x\)