קירוב נורמלי להתפלגות בינומית
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 קירוב נורמלי להתפלגות בינומית
התפלגות הדגימה ומשפט הגבול המרכזי
קירוב נורמלי להתפלגות בינומית
🎯 למה צריך קירוב נורמלי?
כאשר n גדול, חישובים עם התפלגות בינומית הופכים למסורבלים:
- חישוב \(\binom{100}{47}\) דורש מספרים עצומים
- סכימה של הרבה ערכים לוקחת זמן
- טבלאות בינומיות מוגבלות
הפתרון: כאשר n מספיק גדול, ניתן לקרב את ההתפלגות הבינומית באמצעות ההתפלגות הנורמלית!
📚 תזכורת: התפלגות בינומית
סימון: \(X \sim B(n, p)\)
משמעות: X = מספר ההצלחות ב-n ניסויים, הסתברות להצלחה p
\(E(X) = np\)
תוחלת
\(V(X) = np(1-p)\)
שונות
\(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
סטיית תקן
⚠️ תנאים לקירוב נורמלי
ניתן לקרב התפלגות בינומית לנורמלית כאשר:
\(np \geq 5\)
\(n(1-p) \geq 5\)
💡 הסבר: שני התנאים מבטיחים שההתפלגות לא תהיה א-סימטרית מדי.
⭐ נוסחת הקירוב הנורמלי
אם \(X \sim B(n, p)\) ומתקיימים התנאים:
\(X \approx N(np, np(1-p))\)
חישוב ציון Z:
\(Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}\)
🔧 תיקון לרציפות (Continuity Correction)
הבעיה: בינומית = בדידה, נורמלית = רציפה
הפתרון: מוסיפים או מחסירים 0.5
| בינומית | קירוב נורמלי |
|---|---|
| \(P(X = k)\) | \(P(k - 0.5 \leq X \leq k + 0.5)\) |
| \(P(X \leq k)\) | \(P(X \leq k + 0.5)\) |
| \(P(X < k)\) | \(P(X \leq k - 0.5)\) |
| \(P(X \geq k)\) | \(P(X \geq k - 0.5)\) |
| \(P(X > k)\) | \(P(X \geq k + 0.5)\) |
| \(P(a \leq X \leq b)\) | \(P(a - 0.5 \leq X \leq b + 0.5)\) |
💡 כלל: "להרחיב" את התחום כדי לכלול את הערך השלם
✏️ דוגמה 1: P(X ≤ k)
שאלה: מטילים מטבע הוגן 100 פעמים. מה ההסתברות לקבל לכל היותר 45 "עץ"?
הגדרה: \(X \sim B(100, 0.5)\)
בדיקת תנאים:
\(np = 50 \geq 5\) ✓ \(n(1-p) = 50 \geq 5\) ✓
פרמטרים: \(\mu = 50, \quad \sigma = \sqrt{25} = 5\)
תיקון: \(P(X \leq 45) \approx P(X \leq 45.5)\)
חישוב Z: \(Z = \frac{45.5 - 50}{5} = -0.9\)
תשובה: P(Z ≤ -0.9) = 0.1841 = 18.41%
✏️ דוגמה 2: P(a ≤ X ≤ b)
שאלה: 30% תומכים במועמד. נשאלו 200 אנשים.
מה ההסתברות ש-55 עד 70 אנשים (כולל) יתמכו?
הגדרה: \(X \sim B(200, 0.3)\)
תנאים: \(np = 60 \geq 5\) ✓ \(n(1-p) = 140 \geq 5\) ✓
פרמטרים: \(\mu = 60, \quad \sigma = \sqrt{42} \approx 6.48\)
תיקון: \(P(55 \leq X \leq 70) \approx P(54.5 \leq X \leq 70.5)\)
חישוב Z:
\(Z_1 = \frac{54.5 - 60}{6.48} = -0.85\)
\(Z_2 = \frac{70.5 - 60}{6.48} = 1.62\)
תשובה: P(-0.85 ≤ Z ≤ 1.62) = 0.9474 - 0.1977 = 0.7497 ≈ 75%
📊 קירוב נורמלי לפרופורציה במדגם
פרופורציה במדגם: \(\hat{p} = \frac{X}{n}\) (כאשר X = מספר ההצלחות)
התפלגות פרופורציית המדגם:
\(\hat{p} \approx N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)\)
נוסחאות חשובות:
- תוחלת: \(E(\hat{p}) = p\)
- שונות: \(V(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}\)
- טעות תקן: \(\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)
ציון Z לפרופורציה:
\(Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)
📋 סיכום הנוסחאות
| סטטיסטי | תוחלת | שונות | טעות תקן |
|---|---|---|---|
| \(X \sim B(n,p)\) | \(np\) | \(np(1-p)\) | \(\sqrt{np(1-p)}\) |
| \(\hat{p} = \frac{X}{n}\) | \(p\) | \(\frac{p(1-p)}{n}\) | \(\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\) |
| \(\bar{X}\) (ממוצע מדגם) | \(\mu\) | \(\frac{\sigma^2}{n}\) | \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) |
📝 סיכום
תנאי קירוב: \(np \geq 5\) וגם \(n(1-p) \geq 5\)
קירוב: \(X \sim B(n,p) \approx N(np, np(1-p))\)
תיקון לרציפות: ±0.5 לפי סוג אי-השוויון
דוגמאות פתורות
🎯 מהי התפלגות נורמלית?
בחר/י את ההגדרה המתאימה ביותר להתפלגות נורמלית.
הצג פתרון
💡 הסבר:
שפה יומיומית:
התפלגות נורמלית היא "עקומת פעמון" – רוב התלמידים נמצאים סביב הממוצע, ומעט מאוד מאוד גבוהים או מאוד נמוכים. הגרף נראה כמו גבעה סימטרית באמצע.
שפה מתמטית:
התפלגות נורמלית היא התפלגות הסתברות רציפה, סימטרית סביב הממוצע μ. הצפיפות הגבוהה ביותר היא סביב μ, וההסתברות יורדת ככל שמתרחקים מהממוצע לשני הצדדים.
לכן התשובה הנכונה היא זו שמתארת עקומת פעמון סימטרית סביב הממוצע.
📐 סימטריה בהתפלגות נורמלית:
מה המשמעות של כך שההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע μ?
הצג פתרון
הסבר יומיומי:
אם התפלגות היא סימטרית, זה אומר שאם נסתכל כמה תלמידים נמצאים 10 נקודות מעל הממוצע – יהיה בערך אותו מספר תלמידים 10 נקודות מתחת לממוצע.
הסבר מתמטי:
בתפלגות נורמלית מסתמנת סימטריה כך ש:
P(X > μ + a) = P(X < μ - a)
לכל מרחק a > 0 מהממוצע.
לכן התשובה הנכונה היא שההסתברויות משני הצדדים במרחק שווה מהממוצע זהות.
⚖️ מיקום מדדי המרכז:
בהתפלגות נורמלית מושלמת, מה נכון לגבי הממוצע, החציון והשכיח?
הצג פתרון
הסבר יומיומי:
בעקומת פעמון "מושלמת", האמצע של הגבעה, הנקודה שבה הכי הרבה ערכים, והנקודה שמחלקת את התלמידים לשניים – כולן באותו מקום.
הסבר מתמטי:
בתפלגות נורמלית סימטרית, מתקיים:
μ = median = mode
כלומר הממוצע, החציון והשכיח שווים זה לזה ונמצאים במרכז ההתפלגות.
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.