פונקציות מיוחדות משפחת השורש - הזזות ושינויים
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 פונקציות מיוחדות משפחת השורש - הזזות ושינויים
פונקציות מיוחדות
דף 4: משפחת השורש - הזזות ושינויים
🎯 מה נלמד?
איך לשנות את פונקציית השורש הבסיסית \(y = \sqrt{x}\):
- הזזה למעלה/למטה
- הזזה ימינה/שמאלה
- היפוך (שיקוף)
⬆️⬇️ הזזה למעלה/למטה: \(y = \sqrt{x} + k\)
k > 0 → הגרף עולה למעלה
k < 0 → הגרף יורד למטה
✏️ דוגמאות:
\(y = \sqrt{x} + 3\) → מתחיל ב-(0, 3)
\(y = \sqrt{x} - 1\) → מתחיל ב-(0, -1)
התחום לא משתנה! עדיין \(x \geq 0\)
⬅️➡️ הזזה ימינה/שמאלה: \(y = \sqrt{x-h}\)
⚠️ אותו כלל כמו בפרבולה - הפוך!
\(y = \sqrt{x-h}\) → הגרף זז ימינה ב-h
\(y = \sqrt{x+h}\) → הגרף זז שמאלה ב-h
💡 חשוב - התחום משתנה!
\(y = \sqrt{x-2}\) → תחום: \(x \geq 2\)
\(y = \sqrt{x+3}\) → תחום: \(x \geq -3\)
🔀 שילוב: \(y = \sqrt{x-h} + k\)
נקודת ההתחלה: (h, k)
✏️ דוגמאות:
\(y = \sqrt{x-3} + 2\)
- נקודת התחלה: (3, 2)
- תחום: \(x \geq 3\)
- טווח: \(y \geq 2\)
\(y = \sqrt{x+1} - 4\)
- נקודת התחלה: (-1, -4)
- תחום: \(x \geq -1\)
- טווח: \(y \geq -4\)
🔄 שיקופים
\(y = -\sqrt{x}\)
שיקוף ביחס לציר x
הגרף יורד במקום עולה
תחום: x ≥ 0
\(y = \sqrt{-x}\)
שיקוף ביחס לציר y
הגרף הולך שמאלה
תחום: x ≤ 0
📋 טבלת סיכום - משפחת השורש
| פונקציה | תחום | נק' התחלה | כיוון |
|---|---|---|---|
| \(\sqrt{x}\) | x ≥ 0 | (0, 0) | ימינה-למעלה |
| \(\sqrt{x-3}\) | x ≥ 3 | (3, 0) | ימינה-למעלה |
| \(\sqrt{x}+2\) | x ≥ 0 | (0, 2) | ימינה-למעלה |
| \(-\sqrt{x}\) | x ≥ 0 | (0, 0) | ימינה-למטה |
| \(\sqrt{-x}\) | x ≤ 0 | (0, 0) | שמאלה-למעלה |
📝 סיכום
\(y = \sqrt{x-h} + k\) → מתחיל ב-(h, k)
התחום תמיד: מה שתחת השורש ≥ 0
מינוס בחוץ → יורד | מינוס בפנים → הולך שמאלה
דוגמאות פתורות
📐 הצורה הכללית:
מהי הצורה הכללית של משפחת השורש?
הצג פתרון
| 📐 הצורה הכללית הנוסחה: \(y = a\sqrt{x-h} + k\) כאשר \(a \neq 0\) זו הצורה הכללית! המשמעות של כל פרמטר: \(a\): מתיחה/כיווץ וכיוון • \(a > 0\): עולה → • \(a < 0\): יורדת ← • \(|a| > 1\): תלולה • \(0 < |a| < 1\): שטוחה \(h\): הזזה אופקית • \(h > 0\): ימינה → • \(h < 0\): שמאלה ← \(k\): הזזה אנכית • \(k > 0\): למעלה ↑ • \(k < 0\): למטה ↓ נקודת ההתחלה: מהצורה \(a\sqrt{x-h} + k\) קוראים ישירות: נקודת התחלה = \((h, k)\) ✓ זו הנקודה החשובה ביותר! |
🎯 נקודת התחלה:
מהי נקודת ההתחלה של \(y = 3\sqrt{x-5} + 2\)?
הצג פתרון
| 🎯 קריאת נקודת ההתחלה הניתוח: \(y = 3\sqrt{x-5} + 2\) זו הצורה: \(a\sqrt{x-h} + k\) עם: • \(a = 3\) • \(h = 5\) • \(k = 2\) נקודת ההתחלה: מהצורה \(\sqrt{x-h} + k\) קוראים: \((h, k) = (5, 2)\) ✓ ⚠️ שים לב: ה-\(a=3\) לא משפיע על נקודת ההתחלה! הוא רק משפיע על התלילות (כמה מהר הפונקציה עולה) בדיקה: מתי \(\sqrt{x-5}\) מוגדר? כאשר \(x-5 \geq 0\) כלומר \(x \geq 5\) ✓ הנקודה הראשונה: \(x=5\) אז: \(y = 3\sqrt{0} + 2 = 2\) ✓ נקודת התחלה: \((5, 2)\) ✓ תכונות נוספות: • כיוון: עולה (\(a=3 > 0\)) • תחום: \([5, \infty)\) • טווח: \([2, \infty)\) • תלולה (\(|a|=3 > 1\)) |
📊 תחום:
מה התחום של \(y = 2\sqrt{x+3} - 1\)?
הצג פתרון
| 📊 מציאת תחום הניתוח: \(y = 2\sqrt{x+3} - 1\) נכתוב מחדש: \(y = 2\sqrt{x-(-3)} + (-1)\) • \(h = -3\) • \(k = -1\) הכלל: שורש מוגדר רק עבור ערכים ≥ 0 צריך: \(x+3 \geq 0\) \(x \geq -3\) תחום: \([-3, \infty)\) ✓ הכלל הכללי: עבור \(y = a\sqrt{x-h} + k\) תחום: \([h, \infty)\) הפונקציה מתחילה ב-\(x=h\)! דוגמאות נוספות: \(\sqrt{x-7}\): תחום \([7, \infty)\) \(\sqrt{x}\): תחום \([0, \infty)\) \(\sqrt{x+10}\): תחום \([-10, \infty)\) |
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.