דוגמאות עץ הסתברות - ללא החזרה
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 דוגמאות עץ הסתברות - ללא החזרה
🎲 דוגמאות עץ הסתברות - ללא החזרה
⚠️ ההבדל הקריטי: ללא החזרה = ההסתברויות משתנות אחרי כל הוצאה!
📊 השוואה: עם החזרה vs ללא החזרה
בשקית יש 3 כדורים אדומים ו-2 כדורים כחולים (סה"כ 5).
השאלה: מה ההסתברות להוציא 2 כדורים אדומים?
השאלה: מה ההסתברות להוציא 2 כדורים אדומים?
✅ עם החזרה
P(א) = 3/5 תמיד
P(א,א) = 3/5 × 3/5 = 9/25
ההסתברות לא משתנה
⚠️ ללא החזרה
P(א₁) = 3/5
P(א₂|א₁) = 2/4 (נשארו 2 אדומים מתוך 4)
P(א,א) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10
🍃 רמה 2 - שתי הוצאות ללא החזרה
בשקית יש 3 כדורים אדומים ו-2 כדורים כחולים.
מוציאים 2 כדורים ללא החזרה.
מוציאים 2 כדורים ללא החזרה.
שימו לב להסתברויות המשתנות:
• אחרי שהוצאנו אדום: P(א) = 2/4, P(כ) = 2/4
• אחרי שהוצאנו כחול: P(א) = 3/4, P(כ) = 1/4
• אחרי שהוצאנו אדום: P(א) = 2/4, P(כ) = 2/4
• אחרי שהוצאנו כחול: P(א) = 3/4, P(כ) = 1/4
השאלה: מה ההסתברות ששניהם יהיו אדומים?
P(א,א) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10
📋 טבלת השוואה מלאה (3 אדומים, 2 כחולים)
| תוצאה | עם החזרה | ללא החזרה |
|---|---|---|
| א,א | 3/5 × 3/5 = 9/25 | 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10 |
| א,כ | 3/5 × 2/5 = 6/25 | 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10 |
| כ,א | 2/5 × 3/5 = 6/25 | 2/5 × 3/4 = 6/20 = 3/10 |
| כ,כ | 2/5 × 2/5 = 4/25 | 2/5 × 1/4 = 2/20 = 1/10 |
| סה"כ | 25/25 = 1 ✓ | 20/20 = 1 ✓ |
📝 כלל הזהב - ללא החזרה
הוצאה ראשונה: P(א) = r/n
הוצאה שנייה (אחרי אדום): P(א|א) = (r-1)/(n-1)
הוצאה שנייה (אחרי כחול): P(א|כ) = r/(n-1)
הוצאה שלישית: ממשיכים להפחית לפי מה שהוצאנו!
הוצאה שנייה (אחרי אדום): P(א|א) = (r-1)/(n-1)
הוצאה שנייה (אחרי כחול): P(א|כ) = r/(n-1)
הוצאה שלישית: ממשיכים להפחית לפי מה שהוצאנו!
⚠️ הטעות הנפוצה: לחשב עם הסתברויות קבועות כמו בעם החזרה!
דוגמאות פתורות
דוגמה 1
🎲 הסתברות - ללא החזרה:
בשקית יש 4 כדורים אדומים
ו-2 כדורים כחולים.
מוציאים כדור אחד כדורים ללא החזרה.
מוציאים כדור אחד כדורים ללא החזרה.
השאלה: מה ההסתברות להוציא כדור אדום?
הצג פתרון
א
\(\frac{2}{3}\)
✓ נכונה
ב
\(\frac{1}{3}\)
ג
\(\frac{1}{1}\)
ד
\(\frac{1}{2}\)
פתרון - הסתברות ללא החזרה:
נתונים:
• כדורים אדומים: 4
• כדורים כחולים: 2
• סה"כ: 6
• מספר הוצאות: 1
הסתברויות בסיסיות:
\(P(\text{אדום}) = \frac{4}{6}\)
\(P(\text{כחול}) = \frac{2}{6}\)
עץ ההסתברות:
התשובה: \(\frac{2}{3}\)
נתונים:
• כדורים אדומים: 4
• כדורים כחולים: 2
• סה"כ: 6
• מספר הוצאות: 1
הסתברויות בסיסיות:
\(P(\text{אדום}) = \frac{4}{6}\)
\(P(\text{כחול}) = \frac{2}{6}\)
עץ ההסתברות:
התשובה: \(\frac{2}{3}\)
דוגמה 2
🎲 הסתברות - ללא החזרה:
בשקית יש 3 כדורים אדומים
ו-4 כדורים כחולים.
מוציאים כדור אחד כדורים ללא החזרה.
מוציאים כדור אחד כדורים ללא החזרה.
השאלה: מה ההסתברות להוציא כדור כחול?
הצג פתרון
א
\(\frac{4}{7}\)
✓ נכונה
ב
\(\frac{3}{7}\)
ג
\(\frac{5}{7}\)
ד
\(\frac{1}{2}\)
פתרון - הסתברות ללא החזרה:
נתונים:
• כדורים אדומים: 3
• כדורים כחולים: 4
• סה"כ: 7
• מספר הוצאות: 1
הסתברויות בסיסיות:
\(P(\text{אדום}) = \frac{3}{7}\)
\(P(\text{כחול}) = \frac{4}{7}\)
עץ ההסתברות:
התשובה: \(\frac{4}{7}\)
נתונים:
• כדורים אדומים: 3
• כדורים כחולים: 4
• סה"כ: 7
• מספר הוצאות: 1
הסתברויות בסיסיות:
\(P(\text{אדום}) = \frac{3}{7}\)
\(P(\text{כחול}) = \frac{4}{7}\)
עץ ההסתברות:
התשובה: \(\frac{4}{7}\)
דוגמה 3
🎲 הסתברות - ללא החזרה:
בשקית יש 3 כדורים אדומים
ו-4 כדורים כחולים.
מוציאים כדור אחד כדורים ללא החזרה.
מוציאים כדור אחד כדורים ללא החזרה.
השאלה: מה ההסתברות להוציא כדור כחול?
הצג פתרון
א
\(\frac{4}{7}\)
✓ נכונה
ב
\(\frac{3}{7}\)
ג
\(\frac{5}{7}\)
ד
\(\frac{1}{2}\)
פתרון - הסתברות ללא החזרה:
נתונים:
• כדורים אדומים: 3
• כדורים כחולים: 4
• סה"כ: 7
• מספר הוצאות: 1
הסתברויות בסיסיות:
\(P(\text{אדום}) = \frac{3}{7}\)
\(P(\text{כחול}) = \frac{4}{7}\)
עץ ההסתברות:
התשובה: \(\frac{4}{7}\)
נתונים:
• כדורים אדומים: 3
• כדורים כחולים: 4
• סה"כ: 7
• מספר הוצאות: 1
הסתברויות בסיסיות:
\(P(\text{אדום}) = \frac{3}{7}\)
\(P(\text{כחול}) = \frac{4}{7}\)
עץ ההסתברות:
התשובה: \(\frac{4}{7}\)
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.
לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.