📖 סטטיסטיקה: מדדי מרכז ופיזור - מדדי פיזור

📏 מדדי פיזור (Dispersion Measures)

מדדי פיזור מתארים עד כמה הנתונים מפוזרים סביב המרכז. ככל שהפיזור גדול יותר, הנתונים יותר מגוונים.

📐 1. טווח (Range)

טווח = ערך מקסימלי − ערך מינימלי

R = x_max − x_min

דוגמה: נתונים: 12, 15, 18, 22, 25, 30
R = 30 − 12 = 18

⚠️ חיסרון: הטווח מושפע רק משני ערכים קיצוניים ולא מהתפלגות שאר הנתונים.

📊 2. שונות (Variance) - s²

השונות מודדת את ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע.
היא מראה כמה הנתונים "מרוחקים" בממוצע מהמרכז.

שונות מדגם:

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n−1) = [Σxᵢ² − (Σxᵢ)²/n] / (n−1)

שלבי החישוב:

שלב 1: חשבו את הממוצע x̄

שלב 2: חשבו את הסטייה של כל ערך מהממוצע: (xᵢ − x̄)

שלב 3: העלו כל סטייה בריבוע: (xᵢ − x̄)²

שלב 4: סכמו את כל הריבועים: Σ(xᵢ − x̄)²

שלב 5: חלקו ב-(n−1): s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n−1)

דוגמה מלאה: נתונים: 2, 4, 6, 8, 10

xᵢ	x̄	xᵢ − x̄	(xᵢ − x̄)²
2	6	−4	16
4	6	−2	4
6	6	0	0
8	6	+2	4
10	6	+4	16
סכום			40

x̄ = (2+4+6+8+10)/5 = 30/5 = 6
s² = 40 / (5−1) = 40/4 = 10

📉 3. סטיית תקן (Standard Deviation) - s

סטיית תקן = √שונות

s = √s² = √[Σ(xᵢ − x̄)² / (n−1)]

בהמשך לדוגמה הקודמת:
s = √10 = 3.16

למה סטיית תקן?
• השונות נמדדת ביחידות בריבוע (למשל: מטר²)
• סטיית התקן נמדדת באותן יחידות כמו הנתונים - קל יותר לפרש!

🔄 נוסחת הקיצור לשונות

s² = [Σxᵢ² − (Σxᵢ)²/n] / (n−1)

או: s² = [Σxᵢ² − n·x̄²] / (n−1)

דוגמה עם נוסחת קיצור: נתונים: 2, 4, 6, 8, 10

Σxᵢ = 2+4+6+8+10 = 30
Σxᵢ² = 4+16+36+64+100 = 220
n = 5

s² = [220 − (30)²/5] / (5−1) = [220 − 180] / 4 = 40/4 = 10 ✓

📊 4. מקדם שונות (CV)

מקדם השונות מאפשר להשוות פיזור בין קבוצות עם יחידות שונות או ממוצעים שונים.

CV = (s / x̄) × 100%

דוגמה: השוואת פיזור משקל בין תינוקות למבוגרים:

תינוקות: x̄ = 4 ק"ג, s = 0.8 ק"ג → CV = 0.8/4 × 100 = 20%
מבוגרים: x̄ = 70 ק"ג, s = 10 ק"ג → CV = 10/70 × 100 = 14.3%

מסקנה: הפיזור היחסי גדול יותר אצל תינוקות!

📈 5. טרנספורמציה לינארית

כאשר מבצעים טרנספורמציה לינארית y = a + bx:

⚠️ חשוב לזכור:
• הוספת קבוע (a) לא משנה את מדדי הפיזור
• כפל בקבוע (b) כן משנה - סט"ת נכפלת ב-|b|, שונות נכפלת ב-b²

📋 סיכום נוסחאות

מדד	נוסחה	יחידות
טווח	R = x_max − x_min	כמו הנתונים
שונות מדגם	s² = Σ(xᵢ−x̄)² / (n−1)	יחידות²
סטיית תקן	s = √s²	כמו הנתונים
מקדם שונות	CV = s/x̄ × 100%	אחוזים (ללא יחידות)

💡 טיפ לבחינה:
• אם מבקשים שונות - התשובה תהיה מספר גדול יחסית (ביחידות²)
• אם מבקשים סטיית תקן - התשובה תהיה שורש השונות
• תמיד בדקו: האם n או n−1 במכנה? (מדגם = n−1, אוכלוסייה = N)

דוגמאות פתורות

מהו הרעיון המרכזי של "מדד מיקום מרכזי" בסטטיסטיקה?

הצג פתרון

א לתאר ערך שמייצג את מרכז הנתונים או את הערך האופייני להם ✓ נכונה

ב למדוד כמה הנתונים מפוזרים

ג לבדוק האם הנתונים מדויקים

ד למצוא את הערך הגבוה ביותר

מדדי מיקום מרכזי (ממוצע, חציון, שכיח) לא עוסקים בפיזור או בקיצוניות, אלא בשאלה: מהו הערך שמייצג את מרכז הנתונים או את הערך האופייני להם. הם עוזרים לנו לסכם קבוצת נתונים גדולה למספר אחד שמספר את "סיפור המרכז".

מהו ממוצע חשבוני (Arithmetic Mean) של סדרת נתונים?

הצג פתרון

א סכום כל הערכים חלקי מספר הערכים ✓ נכונה

ב הערך שמופיע הכי הרבה פעמים

ג הערך שנמצא באמצע הרשימה אחרי מיון

ד הערך הגדול ביותר ברשימה

הממוצע החשבוני מחושב על ידי סכימה של כל הערכים וחלוקה במספרם. זהו ערך "נקודת האיזון" – אם נחשוב על הנתונים כמשקולות על קו, הממוצע הוא המקום שבו הקו מאוזן. הוא מתחשב בכל הערכים ולכן רגיש לערכים חריגים.

מהו חציון (Median) של סדרת נתונים?

הצג פתרון

א הערך שנמצא באמצע לאחר שמסדרים את הנתונים מהקטן לגדול ✓ נכונה

ב סכום הערכים מחולק במספרם

ג הערך שמופיע הכי הרבה פעמים

ד הערך הקטן ביותר ברשימה

כדי למצוא חציון, קודם מסדרים את הנתונים מהקטן לגדול. לאחר מכן מחפשים את הערך שנמצא באמצע. החציון אינו מתחשב בגודל המדויק של כל הערכים אלא במיקומם, ולכן הוא פחות רגיש לערכים קיצוניים.

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.