מדדי קשר מקדם המתאם של פירסון ורגרסיה
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 מדדי קשר מקדם המתאם של פירסון ורגרסיה
📈 מקדם המתאם של פירסון ורגרסיה
מקדם המתאם של פירסון (r) מודד את עוצמת וכיוון הקשר הליניארי בין שני משתנים רווחיים/מנתיים.
תחום הערכים: −1 ≤ r ≤ +1
📐 שונות משותפת (Covariance)
או בנוסחה המקוצרת:
sₓᵧ = [Σxᵢyᵢ − (Σxᵢ·Σyᵢ)/n] / (n−1)
השונות המשותפת מודדת את הכיוון של הקשר:
- sₓᵧ > 0 → קשר חיובי
- sₓᵧ < 0 → קשר שלילי
- sₓᵧ = 0 → אין קשר ליניארי
r נוסחת פירסון
כאשר sₓ ו-sᵧ הן סטיות התקן של X ו-Y
📏 קו הניבויים (רגרסיה)
קו הניבויים (קו הרגרסיה) הוא הישר שמתאר בצורה הטובה ביותר את הקשר הליניארי בין X ל-Y.
משוואת הישר: ŷ = a + bx
חותך: a = ȳ − b·x̄
📊 מקדם הקביעה (R²)
R² מייצג את אחוז השונות של Y המוסברת ע"י X
פירוש: 64% מהשונות בציוני Y מוסברת ע"י הקשר עם X.
36% הנותרים מוסברים ע"י גורמים אחרים.
🔢 שונות הניבויים ושונות הטעויות
sᵧ² = s²ŷ + s²ₑ
| רכיב | נוסחה | משמעות |
|---|---|---|
| שונות הניבויים | s²ŷ = r² · sᵧ² | החלק המוסבר ע"י X |
| שונות הטעויות | s²ₑ = (1 − r²) · sᵧ² | החלק הלא מוסבר |
⚠️ נקודות חשובות
- קורלציה ≠ סיבתיות: קשר חזק לא מוכיח שX גורם ל-Y!
- r מודד רק קשר ליניארי: יכול להיות קשר לא ליניארי חזק עם r=0
- רגיש לערכים חריגים: Outliers יכולים לשנות r משמעותית
- התפלגות נורמלית: לבדיקת מובהקות צריך התפלגות נורמלית
📋 השוואת מדדי קשר
| מדד | סוג משתנים | סוג קשר | תחום |
|---|---|---|---|
| למדה (λ) | שמיים | כללי | 0 עד 1 |
| קרמר (V) | שמיים | כללי | 0 עד 1 |
| ספירמן (rₛ) | סידוריים | מונוטוני | -1 עד +1 |
| פירסון (r) | רווחיים/מנתיים | ליניארי | -1 עד +1 |
OpenBook © 2025 © רוית הלפנבאום
דוגמאות פתורות
📊 מושגי יסוד:
מהו קשר (Association) בין שני משתנים?
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: הגדרת קשר 🔍
| הסבר יומיומי: 🔗 קשר = כשיודעים משהו על משתנה אחד, זה עוזר לנו לנחש משהו על המשתנה השני דוגמאות: • גובה ומשקל - אנשים גבוהים נוטים לשקול יותר • השכלה והכנסה - השכלה גבוהה קשורה להכנסה גבוהה • טמפרטורה ומכירות גלידה - חם יותר = יותר גלידה קשר ≠ סיבתיות! |
שלב 2: המחשה 📊
תשובה נכונה: כאשר ערכי משתנה אחד קשורים באופן שיטתי לערכי המשתנה השני
📊 סוגי קשר:
מהו קשר חיובי בין שני משתנים?
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: הגדרה 🔍
| קשר חיובי: 📈 כששני המשתנים "הולכים ביחד" • X עולה → Y עולה • X יורד → Y יורד דוגמאות: • גובה ומשקל • שעות לימוד וציון • גיל ילדים וגובהם |
שלב 2: המחשה 📊
תשובה נכונה: כשמשתנה אחד עולה, גם השני נוטה לעלות
📊 קשר שלילי:
מהו קשר שלילי (הפוך) בין שני משתנים?
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: הגדרה 🔍
| קשר שלילי: 📉 כששני המשתנים "הולכים הפוך" • X עולה → Y יורד • X יורד → Y עולה דוגמאות: • מחיר וכמות נמכרת • מהירות נהיגה וזמן נסיעה • גיל מכונית וערכה |
שלב 2: המחשה 📊
תשובה נכונה: כשמשתנה אחד עולה, השני נוטה לרדת
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.