סטטיסטיקה מדדי פיזור
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 סטטיסטיקה מדדי פיזור
סטטיסטיקה
דף 7: מדדי פיזור
📊 מהם מדדי פיזור?
מדדי פיזור מתארים עד כמה הנתונים מפוזרים או מרוכזים סביב המרכז.
למה זה חשוב?
שתי הקבוצות עם אותו ממוצע, אבל שונות לגמרי!
1️⃣ טווח (Range)
טווח = הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
\(R = x_{max} - x_{min}\)
✏️ דוגמה:
ציונים: 65, 72, 78, 85, 92
\(R = 92 - 65 = 27\)
הטווח: 27
💡 יתרונות וחסרונות:
|
✅ יתרונות
|
❌ חסרונות
|
📐 סטייה מהממוצע
סטייה = המרחק של כל נתון מהממוצע
\(d_i = x_i - \bar{x}\)
✏️ דוגמה: נתונים: 4, 6, 8, 10, 12 (ממוצע = 8)
| xᵢ | סטייה (xᵢ - x̄) |
|---|---|
| 4 | 4 - 8 = -4 |
| 6 | 6 - 8 = -2 |
| 8 | 8 - 8 = 0 |
| 10 | 10 - 8 = +2 |
| 12 | 12 - 8 = +4 |
| סכום | 0 |
⚠️ סכום הסטיות תמיד שווה 0!
לכן לא ניתן להשתמש בו כמדד פיזור...
2️⃣ שונות (Variance)
שונות = ממוצע של ריבועי הסטיות
(מרבעים כדי להיפטר מהסימנים השליליים)
📋 נוסחאות השונות:
| סוג נתונים | נוסחה |
|---|---|
| נתונים גולמיים | \(S^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}\) |
| טבלת שכיחויות | \(S^2 = \frac{\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}{n}\) |
| נוסחה מקוצרת | \(S^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2\) |
✏️ דוגמה: נתונים: 4, 6, 8, 10, 12 (ממוצע = 8)
| xᵢ | xᵢ - x̄ | (xᵢ - x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | -4 | 16 |
| 6 | -2 | 4 |
| 8 | 0 | 0 |
| 10 | +2 | 4 |
| 12 | +4 | 16 |
| סכום | 40 | |
\(S^2 = \frac{40}{5} = 8\)
השונות: 8
3️⃣ סטיית תקן (Standard Deviation)
סטיית תקן = שורש השונות
(מחזירה את היחידות המקוריות)
\(S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}\)
✏️ המשך הדוגמה:
\(S = \sqrt{8} = 2.83\)
סטיית התקן: 2.83
💡 מה אומרת סטיית תקן?
- סט"ת קטנה → הנתונים קרובים לממוצע (מרוכזים)
- סט"ת גדולה → הנתונים רחוקים מהממוצע (מפוזרים)
- סט"ת = 0 → כל הנתונים שווים!
✏️ דוגמה מלאה - מטבלת שכיחויות
מספר אחים של 20 תלמידים:
| x | f | x·f | x - x̄ | (x - x̄)² | f(x - x̄)² |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 0 | -1.5 | 2.25 | 4.5 |
| 1 | 8 | 8 | -0.5 | 0.25 | 2 |
| 2 | 6 | 12 | 0.5 | 0.25 | 1.5 |
| 3 | 4 | 12 | 1.5 | 2.25 | 9 |
| סה"כ | 20 | 30 | 17 |
ממוצע: \(\bar{x} = \frac{30}{20} = 1.5\)
שונות: \(S^2 = \frac{17}{20} = 0.85\)
סטיית תקן: \(S = \sqrt{0.85} = 0.92\)
📋 תכונות השונות וסטיית התקן
| פעולה | השפעה על השונות | השפעה על סט"ת |
|---|---|---|
| הוספת k לכל נתון | לא משתנה | לא משתנה |
| כפל כל נתון ב-k | נכפלת ב-k² | נכפלת ב-|k| |
✏️ דוגמה:
נתונים מקוריים: ממוצע = 50, סט"ת = 10
- מוסיפים 20 לכל נתון → ממוצע = 70, סט"ת = 10 (לא השתנה)
- כופלים כל נתון ב-3 → ממוצע = 150, סט"ת = 30 (נכפל ב-3)
💡 טיפים למבחן
טווח: max - min
שונות: ממוצע ריבועי הסטיות
סט"ת: שורש השונות
הוספה: לא משנה סט"ת
📝 סיכום דף 7
טווח = max - min
\(S^2 = \frac{\sum(x-\bar{x})^2}{n}\) | \(S = \sqrt{S^2}\)
דוגמאות פתורות
1. מהו "מדד פיזור" בסטטיסטיקה?
הצג פתרון
מדד פיזור מתאר כמה רחוק הנתונים אחד מהשני וכמה הם רחוקים מהמרכז (למשל מהממוצע). הוא לא אומר רק מהו המרכז, אלא עד כמה יש "פיזור" סביבו.
2. מהו הטווח של סדרת נתונים?
הצג פתרון
טווח = הערך הגדול ביותר מינוס הערך הקטן ביותר. זהו מדד פיזור פשוט שמראה מה "רוחב" הנתונים על ציר המספרים.
3. מהו הטווח של הנתונים: 3, 7, 10?
הצג פתרון
הערך הגדול ביותר: 10. הערך הקטן ביותר: 3. טווח = 10 - 3 = 7.
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.