📖 טריגונומטריה - מעגל היחידה

⭕ מעגל היחידה

4-5 יח"ל מתמטיקה |

1. מהו מעגל היחידה?

📌 הגדרה: מעגל היחידה הוא מעגל שמרכזו בראשית הצירים (0,0) ורדיוסו שווה ל-1.

משוואת המעגל: x² + y² = 1

לכל נקודה P על מעגל היחידה: P = (cos α, sin α)
כאשר α היא הזווית מציר x החיובי נגד כיוון השעון

2. המרה בין מעלות לרדיאנים

מעלות	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
רדיאנים	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π

3. סימני הפונקציות ברביעים

💡 טיפ לזכירה - "כל הסטודנטים טובים בחדו״א":
רביע I: כל (הכל חיובי)
רביע II: סינוס (רק sin חיובי)
רביע III: טנגנס (רק tan חיובי)
רביע IV: קוסינוס (רק cos חיובי)

4. ערכים על מעגל היחידה

5. זוויות משלימות

קשר	sin	cos	tan
זוויות משלימות ל-90° (α ו-90°-α)	sin(90°-α) = cos α	cos(90°-α) = sin α	tan(90°-α) = cot α
זוויות משלימות ל-180° (α ו-180°-α)	sin(180°-α) = sin α	cos(180°-α) = -cos α	tan(180°-α) = -tan α
זווית שלילית (-α)	sin(-α) = -sin α	cos(-α) = cos α	tan(-α) = -tan α

📌 זוגיות הפונקציות:

cos - פונקציה זוגית: cos(-α) = cos(α)
sin - פונקציה אי-זוגית: sin(-α) = -sin(α)
tan - פונקציה אי-זוגית: tan(-α) = -tan(α)

6. מחזוריות

sin(α + 360°) = sin α | cos(α + 360°) = cos α | tan(α + 180°) = tan α

מחזור sin ו-cos: 2π (או 360°) | מחזור tan: π (או 180°)

🎯 לסיכום: מעגל היחידה הוא הכלי המרכזי להבנת הפונקציות הטריגונומטריות לכל זווית!

דוגמאות פתורות

📐 משפט הסינוסים:
מהי הנוסחה הנכונה של משפט הסינוסים?

הצג פתרון

א a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) ✓ נכונה

ב a·sin(A) = b·sin(B) = c·sin(C)

ג a² = b² + c² - 2bc·cos(A)

ד a/cos(A) = b/cos(B) = c/cos(C)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט הסינוסים 🔍

💡 משפט הסינוסים קובע יחס קבוע בין צלע לסינוס הזווית שמולה:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם!

שלב 2: המחשה 📊

שלב 3: מתי משתמשים? 🎯

משתמשים במשפט הסינוסים כאשר:

✓ נתונה צלע + הזווית שמולה + עוד משהו
✓ נתונות שתי זוויות + צלע אחת
✓ רוצים למצוא רדיוס מעגל חוסם

צלע חלקי סינוס הזווית שמולה = קבוע!

תשובה: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

🎯 צלע מול זווית:
במשולש ABC, הזווית A היא 50°.

איזו צלע נמצאת מול זווית A?

הצג פתרון

א הצלע a (מ-B ל-C) ✓ נכונה

ב הצלע b (מ-A ל-C)

ג הצלע c (מ-A ל-B)

ד אין צלע מול הזווית

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הכלל החשוב! 🔍

💡 כלל הזהב:

הצלע שמול זווית A נקראת a
הצלע שמול זווית B נקראת b
הצלע שמול זווית C נקראת c

⚠️ הצלע שמול = הצלע שלא נוגעת בקודקוד!

שלב 2: המחשה 📊

שלב 3: הסבר 🎯

הצלע a:

• מחברת בין B ל-C
• לא נוגעת בקודקוד A
• נמצאת מול (ממול) זווית A

לכן a היא הצלע מול זווית A!

תשובה: הצלע a (מ-B ל-C)

🧮 חישוב בסיסי:
במשולש: a = 10, זווית A = 30°, זווית B = 45°.

מהו אורך הצלע b?

💡 נתון: sin(30°) = 0.5, sin(45°) ≈ 0.707

הצג פתרון

א 14.14 ✓ נכונה

ב 7.07

ג 10

ד 20

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
a = 10
∠A = 30°
∠B = 45°

צריך למצוא: b = ?

שלב 2: הצבה במשפט הסינוסים 📊

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

חישוב:

a/sin(A) = b/sin(B)

10/sin(30°) = b/sin(45°)

10/0.5 = b/0.707

20 = b/0.707

b = 20 × 0.707 = 14.14

תשובה: 14.14

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.