טריגונומטריה - משפט הסינוסים

הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.

📖 טריגונומטריה - משפט הסינוסים

📐 משפט הסינוסים

4-5 יח"ל מתמטיקה | 

1. ניסוח המשפט

A B C α β γ c b a (מול γ) (מול β) (מול α)
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R

(R = רדיוס המעגל החוסם)
📌 הסבר:
היחס בין כל צלע לסינוס הזווית שמולה הוא קבוע ושווה לקוטר המעגל החוסם (2R).

2. מתי משתמשים במשפט הסינוסים?

מקרה 1: ז.ז.צ נתונות 2 זוויות וצלע אחת פתרון יחיד ✓ ✓ מקרה 2: ז.צ.ז נתונות 2 זוויות וצלע ביניהן פתרון יחיד ✓ ✓ מקרה 3: צ.צ.ז נתונות 2 צלעות וזווית שלא ביניהן ⚠️ מקרה מעורפל! ⚠

3. המקרה המעורפל (צ.צ.ז)

⚠️ זהירות! כאשר נתונות שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן, יתכנו מספר אפשרויות!
אין פתרון a < b·sin α הצלע קצרה מדי לא נוגעת בבסיס פתרון יחיד a = b·sin α משולש ישר זווית שני פתרונות b·sin α < a < b שני משולשים אפשריים סיכום: נתונים a, b, α (כאשר α מול a) אם a ≥ b → פתרון יחיד תמיד אם a < b → בדוק את היחס a/(b·sin α) <1: אין פתרון | =1: פתרון יחיד | >1: שני פתרונות (אם α חדה)

📌 איך לזהות מקרה מעורפל?

נתונים: צלעות a ו-b, וזווית α (שמול צלע a)

  • חשב sin β = (b · sin α) / a
  • אם sin β > 1 → אין פתרון
  • אם sin β = 1 → פתרון יחיד (β = 90°)
  • אם sin β < 1 ו-a ≥ b → פתרון יחיד
  • אם sin β < 1 ו-a < b → שני פתרונות אפשריים!
    β₁ = arcsin(sin β) וגם β₂ = 180° - β₁

4. דוגמאות מפורטות

📝 דוגמה 1: מציאת צלע (ז.ז.צ)

במשולש ABC: α = 40°, β = 60°, a = 10 ס"מ. מצא את b.

פתרון:
לפי משפט הסינוסים:
a / sin α = b / sin β
10 / sin 40° = b / sin 60°
b = 10 · sin 60° / sin 40°
b = 10 · 0.866 / 0.643
b ≈ 13.47 ס"מ
📝 דוגמה 2: מציאת זווית

במשולש ABC: a = 8, b = 6, α = 50°. מצא את β.

פתרון:
לפי משפט הסינוסים:
sin β / b = sin α / a
sin β = b · sin α / a
sin β = 6 · sin 50° / 8
sin β = 6 · 0.766 / 8 = 0.575
β = arcsin(0.575) ≈ 35.1°

בדיקה: a > b ולכן α > β ✓ (פתרון יחיד)
📝 דוגמה 3: מקרה מעורפל

במשולש ABC: a = 7, b = 10, α = 30°. מצא את β.

פתרון:
sin β = b · sin α / a = 10 · sin 30° / 7 = 10 · 0.5 / 7 ≈ 0.714

מכיוון ש-a < b, יש לבדוק שני פתרונות:
β₁ = arcsin(0.714) ≈ 45.6°
β₂ = 180° - 45.6° = 134.4°

בדיקה: α + β₂ = 30° + 134.4° = 164.4° < 180° ✓
לכן שני הפתרונות אפשריים!

5. קשר למעגל החוסם

O R A B C a a = 2R · sin α
a / sin α = 2R

לכן: a = 2R · sin α
💡 שימוש: אם נתון רדיוס המעגל החוסם, ניתן למצוא צלעות ישירות!
🎯 לסיכום: משפט הסינוסים מאפשר לחשב צלעות וזוויות כשיש לנו זוויות וצלע, אך יש לשים לב למקרה המעורפל!

דוגמאות פתורות

דוגמה 1
📐 משפט הסינוסים במשולש ABC:

במשולש ABC נתון:
• זווית A = 30°
• זווית B = 45°
• צלע a (מול זווית A) = 8

ABC30°45°?a=8b=?c=?
מצא את צלע b (מול זווית B).
הצג פתרון
א 11.31 ✓ נכונה
ב 13.58
ג 9.05
ד 5.66
פתרון - משפט הסינוסים במשולש ABC:

ABC30°45°?a=8b=11.31c=?
📝 משפט הסינוסים:
\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\)
🔢 שלב 1: נציב את הנתונים
\(\frac{8}{\sin(30°)} = \frac{b}{\sin(45°)}\)

🔢 שלב 2: נפתור
\(b = \frac{8 \cdot \sin(45°)}{\sin(30°)} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 11.31\)
התשובה: b = 11.31
דוגמה 2
📐 משפט הסינוסים במשולש ABC:

במשולש ABC נתון:
• זווית A = 30°
• זווית B = 45°
• צלע a (מול זווית A) = 8

ABC30°45°?a=8b=?c=?
מצא את צלע b (מול זווית B).
הצג פתרון
א 11.31 ✓ נכונה
ב 13.58
ג 9.05
ד 5.66
פתרון - משפט הסינוסים במשולש ABC:

ABC30°45°?a=8b=11.31c=?
📝 משפט הסינוסים:
\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\)
🔢 שלב 1: נציב את הנתונים
\(\frac{8}{\sin(30°)} = \frac{b}{\sin(45°)}\)

🔢 שלב 2: נפתור
\(b = \frac{8 \cdot \sin(45°)}{\sin(30°)} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 11.31\)
התשובה: b = 11.31
דוגמה 3
📐 משפט הסינוסים במשולש ABC:

במשולש ABC נתון:
• זווית A = 30°
• זווית B = 45°
• צלע a (מול זווית A) = 8

ABC30°45°?a=8b=?c=?
מצא את צלע b (מול זווית B).
הצג פתרון
א 11.31 ✓ נכונה
ב 13.58
ג 9.05
ד 5.66
פתרון - משפט הסינוסים במשולש ABC:

ABC30°45°?a=8b=11.31c=?
📝 משפט הסינוסים:
\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\)
🔢 שלב 1: נציב את הנתונים
\(\frac{8}{\sin(30°)} = \frac{b}{\sin(45°)}\)

🔢 שלב 2: נפתור
\(b = \frac{8 \cdot \sin(45°)}{\sin(30°)} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 11.31\)
התשובה: b = 11.31

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.