טריגונומטריה - יסודות זוויות

הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.

📖 טריגונומטריה - יסודות זוויות

טריגונומטריה - יסודות

דף 1: זוויות

📐 מהי זווית?

קודקוד שוק שוק α

זווית = המרחב שנוצר בין שני קרניים (שוקיים) היוצאות מנקודה משותפת (קודקוד)

📊 סוגי זוויות לפי גודל

סוג גודל דוגמה
זווית חדה 0° < α < 90° 30°, 45°, 60°
זווית ישרה α = 90° פינת מלבן
זווית קהה 90° < α < 180° 120°, 150°
זווית ישרה (שטוחה) α = 180° קו ישר
זווית קעורה 180° < α < 360° 270°

🔗 יחסים בין זוויות

זוויות משלימות ל-90°

α + β = 90°

דוגמה: 30° ו-60° משלימות זו את זו

זוויות משלימות ל-180° (צמודות)

α + β = 180°

דוגמה: 120° ו-60° צמודות

זוויות קודקודיות

זוויות מול קודקוד = שוות!

🔄 מעלות ורדיאנים

180° = π רדיאנים

360° = 2π רדיאנים

מעלות רדיאנים
30° π/6
45° π/4
60° π/3
90° π/2
180° π

💡 המרות:

ממעלות לרדיאנים: כפול π/180

מרדיאנים למעלות: כפול 180/π

📝 סיכום דף 1

חדה < 90° | ישרה = 90° | קהה > 90°

משלימות ל-90° | צמודות = 180° | קודקודיות שוות

180° = π רדיאנים

דוגמאות פתורות

דוגמה 1

📐 משפט הסינוסים:
מהי הנוסחה הנכונה של משפט הסינוסים?

הצג פתרון
א a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) ✓ נכונה
ב a·sin(A) = b·sin(B) = c·sin(C)
ג a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
ד a/cos(A) = b/cos(B) = c/cos(C)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט הסינוסים 🔍

💡 משפט הסינוסים קובע יחס קבוע בין צלע לסינוס הזווית שמולה:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם!

שלב 2: המחשה 📊

ABCcbaa מול A, b מול B, c מול C

שלב 3: מתי משתמשים? 🎯

משתמשים במשפט הסינוסים כאשר:

✓ נתונה צלע + הזווית שמולה + עוד משהו
✓ נתונות שתי זוויות + צלע אחת
✓ רוצים למצוא רדיוס מעגל חוסם

צלע חלקי סינוס הזווית שמולה = קבוע!

תשובה: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

דוגמה 2

🎯 צלע מול זווית:
במשולש ABC, הזווית A היא 50°.

איזו צלע נמצאת מול זווית A?

הצג פתרון
א הצלע a (מ-B ל-C) ✓ נכונה
ב הצלע b (מ-A ל-C)
ג הצלע c (מ-A ל-B)
ד אין צלע מול הזווית

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הכלל החשוב! 🔍

💡 כלל הזהב:

הצלע שמול זווית A נקראת a
הצלע שמול זווית B נקראת b
הצלע שמול זווית C נקראת c

⚠️ הצלע שמול = הצלע שלא נוגעת בקודקוד!

שלב 2: המחשה 📊

A (50°)BCa - מול A!

שלב 3: הסבר 🎯

הצלע a:

• מחברת בין B ל-C
• לא נוגעת בקודקוד A
• נמצאת מול (ממול) זווית A

לכן a היא הצלע מול זווית A!

תשובה: הצלע a (מ-B ל-C)

דוגמה 3

🧮 חישוב בסיסי:
במשולש: a = 10, זווית A = 30°, זווית B = 45°.

מהו אורך הצלע b?

💡 נתון: sin(30°) = 0.5, sin(45°) ≈ 0.707

הצג פתרון
א 14.14 ✓ נכונה
ב 7.07
ג 10
ד 20

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
a = 10
∠A = 30°
∠B = 45°

צריך למצוא: b = ?

שלב 2: הצבה במשפט הסינוסים 📊

Law of Sinesa/sin(A) = b/sin(B)10/sin(30°) = b/sin(45°)10/0.5 = b/0.707 → b = 14.14

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

חישוב:

a/sin(A) = b/sin(B)

10/sin(30°) = b/sin(45°)

10/0.5 = b/0.707

20 = b/0.707

b = 20 × 0.707 = 14.14

תשובה: 14.14

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.