טריגומטריה - הזהות sin²+cos²=1
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 טריגומטריה - הזהות sin²+cos²=1
טריגונומטריה על מעגל היחידה
דף 13: הזהות הטריגונומטרית הראשונה
⭐ הזהות הטריגונומטרית הבסיסית
sin²α + cos²α = 1
💡 שימו לב לסימון:
sin²α = (sin α)² — סינוס בריבוע
cos²α = (cos α)² — קוסינוס בריבוע
📝 הוכחה (ממעגל היחידה)
נקודה P על מעגל היחידה: P = (cos α, sin α)
משוואת מעגל היחידה: x² + y² = 1
נציב את הקואורדינטות של P:
(cos α)² + (sin α)² = 1
cos²α + sin²α = 1 ✓
🔄 נוסחאות נגזרות
sin²α = 1 - cos²α
cos²α = 1 - sin²α
💡 שימוש: אם יודעים את אחד, אפשר למצוא את השני!
✏️ דוגמה
שאלה: נתון sin α = 3/5 וα ברביע הראשון. מצא את cos α.
פתרון:
sin²α + cos²α = 1
(3/5)² + cos²α = 1
9/25 + cos²α = 1
cos²α = 1 - 9/25 = 16/25
cos α = ±4/5
ברביע I, cos חיובי, לכן: cos α = 4/5
📝 סיכום דף 13
sin²α + cos²α = 1
זו הזהות הכי חשובה בטריגונומטריה!
נובעת ישירות ממשוואת מעגל היחידה
דוגמאות פתורות
⭐ הזהות:
עבור כל \(x\), מתקיים:
הצג פתרון
\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) ✓
לכל \(x\), בלי יוצא מן הכלל!
\(\sin^2(x) = (\sin(x))^2\)
\(\cos^2(x) = (\cos(x))^2\)
זה ריבוע של הערך! ✓
📐 הוכחה:
הזהות \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) נובעת מ:
הצג פתרון
נקודה על מעגל היחידה: \(P = (\cos(x), \sin(x))\)
משוואת המעגל: \(x^2 + y^2 = 1\)
נציב:
\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) ✓
זו הזהות הפיתגורית!
במשולש ישר זווית עם יתר \(1\):
\(\text{ניצב}^2 + \text{ניצב}^2 = \text{יתר}^2\)
\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1^2\) ✓
🔢 חישוב:
אם \(\cos(x) = \frac{3}{5}\), אז \(\sin^2(x)\) שווה ל:
הצג פתרון
הזהות: \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
נתון: \(\cos(x) = \frac{3}{5}\)
\(\cos^2(x) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\)
\(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\)
\(= 1 - \frac{9}{25}\)
\(= \frac{25}{25} - \frac{9}{25}\)
\(= \frac{16}{25}\) ✓
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.