טריגומטריה - משוואות sin
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 טריגומטריה - משוואות sin
משוואות טריגונומטריות
דף 17: פתרון משוואות sin(ax+b) = m
⚠️ תנאי הכרחי
למשוואה sin(x) = m יש פתרון רק אם -1 ≤ m ≤ 1
דוגמאות:
sin(x) = 0.5 ← יש פתרון ✓
sin(x) = 2 ← אין פתרון ✗
⭐ הנוסחה הכללית
אם sin(α) = m ו-α₀ הוא פתרון אחד (הפתרון הבסיסי), אז:
α = α₀ + 2πn
או
α = (π - α₀) + 2πn
(כאשר n ∈ ℤ, מספר שלם)
💡 למה שני סוגי פתרונות?
כי סינוס מקבל אותו ערך בשתי נקודות בכל מחזור (סימטריה ביחס לציר y במעגל היחידה)
📋 אלגוריתם לפתרון sin(ax+b) = m
שלב 1: בדוק תנאי
האם -1 ≤ m ≤ 1?
שלב 2: מצא פתרון בסיסי
α₀ = arcsin(m) או זווית מוכרת
שלב 3: כתוב פתרון כללי
ax + b = α₀ + 2πn או ax + b = (π - α₀) + 2πn
שלב 4: בודד את x
פתור עבור x בכל משוואה
✏️ דוגמה
פתור: sin(2x) = ½
פתרון:
1. תנאי: ½ ∈ [-1,1] ✓
2. פתרון בסיסי: sin(π/6) = ½, לכן α₀ = π/6
3. פתרון כללי:
2x = π/6 + 2πn → x = π/12 + πn
2x = π - π/6 + 2πn = 5π/6 + 2πn → x = 5π/12 + πn
📝 סיכום דף 17
sin(α) = m → פתרון רק אם |m| ≤ 1
α = α₀ + 2πn או α = (π - α₀) + 2πn
דוגמאות פתורות
= משוואה:
הפתרונות של \(\sin(x)\) = \(0\) הם:
הצג פתרון
\(\sin(x)\) = \(0\) כאשר:
x = 0, \(\pi\), \(2\pi\), 3π, ...
כללי: \(x = n\pi\) (\(n\) שלם) ✓
sin = 0 על ציר x
כל מכפולה שלמה של \(\pi\) ✓
= משוואה:
הפתרונות של \(\cos(x)\) = \(0\) הם:
הצג פתרון
\(\cos(x)\) = \(0\) כאשר:
x = \(\frac{\pi}{2}\), 3\(\frac{\pi}{2}\), 5\(\frac{\pi}{2}\), ...
כללי: \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) (\(n\) שלם) ✓
cos = 0 על ציר y
כל \(\frac{\pi}{2}\) + מכפולות של \(\pi\) ✓
= משוואה:
הפתרונות של \(\sin(x)\) = \(1\) הם:
הצג פתרון
\(\sin(x)\) = \(1\) כאשר:
x = \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\) + \(2\pi\), \(\frac{\pi}{2}\) + \(4\pi\), ...
כללי: \(x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) שלם) ✓
כי sin = 1 רק בנקודה (0, 1)
לא ב-(0, -1)! ✓
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.