טריגומטריה - פתרון משוואות tan(ax+b) = m
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 טריגומטריה - פתרון משוואות tan(ax+b) = m
משוואות טריגונומטריות
דף 19: פתרון משוואות tan(ax+b) = m
✅ חדשות טובות!
למשוואה tan(x) = m תמיד יש פתרון!
(לכל m ממשי)
💡 למה?
כי טווח הטנגנס הוא כל הממשיים: (-∞, ∞)
⭐ הנוסחה הכללית
α = α₀ + πn
(כאשר n ∈ ℤ)
💡 שימו לב:
- רק פתרון אחד (לא ±)
- מחזור π (לא 2π)
- פשוט יותר מ-sin ו-cos!
🔄 השוואה
| פונקציה | פתרון | מחזור |
|---|---|---|
| sin | α₀ + 2πn או (π-α₀) + 2πn | 2π |
| cos | ±α₀ + 2πn | 2π |
| tan | α₀ + πn | π |
✏️ דוגמה
פתור: tan(3x) = 1
פתרון:
1. פתרון בסיסי: tan(π/4) = 1, לכן α₀ = π/4
2. פתרון כללי:
3x = π/4 + πn
x = π/12 + πn/3
📝 סיכום דף 19
tan(α) = m → תמיד יש פתרון!
α = α₀ + πn
הפשוט ביותר: פתרון אחד, מחזור π
דוגמאות פתורות
דוגמה 1
= משוואה:
הפתרונות של \(\sin(x)\) = \(0\) הם:
הצג פתרון
א
\(x = n\pi\) (\(n\) שלם)
✓ נכונה
ב
\(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\)
ג
\(x = 2n\pi\)
ד
\(x = \frac{\pi}{4} + n\pi\)
= \(\sin(x)\) = \(0\)
פתרון:
\(\sin(x)\) = \(0\) כאשר:
x = 0, \(\pi\), \(2\pi\), 3π, ...
כללי: \(x = n\pi\) (\(n\) שלם) ✓
\(\sin(x)\) = \(0\) כאשר:
x = 0, \(\pi\), \(2\pi\), 3π, ...
כללי: \(x = n\pi\) (\(n\) שלם) ✓
הסבר:
sin = 0 על ציר x
כל מכפולה שלמה של \(\pi\) ✓
sin = 0 על ציר x
כל מכפולה שלמה של \(\pi\) ✓
דוגמה 2
= משוואה:
הפתרונות של \(\cos(x)\) = \(0\) הם:
הצג פתרון
א
\(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) (\(n\) שלם)
✓ נכונה
ב
\(x = n\pi\)
ג
\(x = 2n\pi\)
ד
\(x = \frac{\pi}{4} + n\pi\)
= \(\cos(x)\) = \(0\)
פתרון:
\(\cos(x)\) = \(0\) כאשר:
x = \(\frac{\pi}{2}\), 3\(\frac{\pi}{2}\), 5\(\frac{\pi}{2}\), ...
כללי: \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) (\(n\) שלם) ✓
\(\cos(x)\) = \(0\) כאשר:
x = \(\frac{\pi}{2}\), 3\(\frac{\pi}{2}\), 5\(\frac{\pi}{2}\), ...
כללי: \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) (\(n\) שלם) ✓
הסבר:
cos = 0 על ציר y
כל \(\frac{\pi}{2}\) + מכפולות של \(\pi\) ✓
cos = 0 על ציר y
כל \(\frac{\pi}{2}\) + מכפולות של \(\pi\) ✓
דוגמה 3
= משוואה:
הפתרונות של \(\sin(x)\) = \(1\) הם:
הצג פתרון
א
\(x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) שלם)
✓ נכונה
ב
\(x = n\pi\)
ג
\(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\)
ד
\(x = \pi + 2n\pi\)
= \(\sin(x)\) = \(1\)
פתרון:
\(\sin(x)\) = \(1\) כאשר:
x = \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\) + \(2\pi\), \(\frac{\pi}{2}\) + \(4\pi\), ...
כללי: \(x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) שלם) ✓
\(\sin(x)\) = \(1\) כאשר:
x = \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\) + \(2\pi\), \(\frac{\pi}{2}\) + \(4\pi\), ...
כללי: \(x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) שלם) ✓
למה 2nπ?
כי sin = 1 רק בנקודה (0, 1)
לא ב-(0, -1)! ✓
כי sin = 1 רק בנקודה (0, 1)
לא ב-(0, -1)! ✓
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.
לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.