📖 טריגומטריה - נוסחת שטח משולש S = ½ab·sin(γ)

טריגונומטריה במישור

דף 21: נוסחת שטח משולש S = ½ab·sin(γ)

⭐ נוסחת השטח הטריגונומטרית

S = ½ · a · b · sin(γ)

שטח = מחצית מכפלת שתי צלעות כפול סינוס הזווית שביניהן

📝 הוכחה

נוסחת שטח משולש רגילה: S = ½ · בסיס · גובה

נניח שהבסיס הוא c והגובה הוא h.

מהגדרת הסינוס במשולש שנוצר:

sin(γ) = h / b → h = b · sin(γ)

נציב בנוסחת השטח:

S = ½ · a · h = ½ · a · b · sin(γ) ✓

🔄 שלוש גרסאות של הנוסחה

S = ½ · a · b · sin(C)

S = ½ · a · c · sin(B)

S = ½ · b · c · sin(A)

💡 הכלל: מכפילים שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

✏️ דוגמה

שאלה: במשולש ABC, AB = 8, AC = 6, והזווית A = 30°. מהו שטח המשולש?

פתרון:

S = ½ · AB · AC · sin(A)

S = ½ · 8 · 6 · sin(30°)

S = ½ · 8 · 6 · ½

S = 12 יח"ר

💡 מקרים מיוחדים

זווית 90°:

S = ½ · a · b · sin(90°) = ½ · a · b · 1 = ½ab

(זו הנוסחה הרגילה למשולש ישר זווית!)

משולש שווה צלעות עם צלע a:

S = ½ · a · a · sin(60°) = ½a² · (√3/2) = (√3/4)a²

📝 סיכום דף 21

S = ½ab · sin(C)

מחצית מכפלת שתי צלעות × סינוס הזווית שביניהן

עובד לכל משולש!

דוגמאות פתורות

📐 משפט הסינוסים:
מהי הנוסחה הנכונה של משפט הסינוסים?

הצג פתרון

א a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) ✓ נכונה

ב a·sin(A) = b·sin(B) = c·sin(C)

ג a² = b² + c² - 2bc·cos(A)

ד a/cos(A) = b/cos(B) = c/cos(C)

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט הסינוסים 🔍

💡 משפט הסינוסים קובע יחס קבוע בין צלע לסינוס הזווית שמולה:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם!

שלב 2: המחשה 📊

שלב 3: מתי משתמשים? 🎯

משתמשים במשפט הסינוסים כאשר:

✓ נתונה צלע + הזווית שמולה + עוד משהו
✓ נתונות שתי זוויות + צלע אחת
✓ רוצים למצוא רדיוס מעגל חוסם

צלע חלקי סינוס הזווית שמולה = קבוע!

תשובה: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

🎯 צלע מול זווית:
במשולש ABC, הזווית A היא 50°.

איזו צלע נמצאת מול זווית A?

הצג פתרון

א הצלע a (מ-B ל-C) ✓ נכונה

ב הצלע b (מ-A ל-C)

ג הצלע c (מ-A ל-B)

ד אין צלע מול הזווית

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הכלל החשוב! 🔍

💡 כלל הזהב:

הצלע שמול זווית A נקראת a
הצלע שמול זווית B נקראת b
הצלע שמול זווית C נקראת c

⚠️ הצלע שמול = הצלע שלא נוגעת בקודקוד!

שלב 2: המחשה 📊

שלב 3: הסבר 🎯

הצלע a:

• מחברת בין B ל-C
• לא נוגעת בקודקוד A
• נמצאת מול (ממול) זווית A

לכן a היא הצלע מול זווית A!

תשובה: הצלע a (מ-B ל-C)

🧮 חישוב בסיסי:
במשולש: a = 10, זווית A = 30°, זווית B = 45°.

מהו אורך הצלע b?

💡 נתון: sin(30°) = 0.5, sin(45°) ≈ 0.707

הצג פתרון

א 14.14 ✓ נכונה

ב 7.07

ג 10

ד 20

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:
a = 10
∠A = 30°
∠B = 45°

צריך למצוא: b = ?

שלב 2: הצבה במשפט הסינוסים 📊

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

חישוב:

a/sin(A) = b/sin(B)

10/sin(30°) = b/sin(45°)

10/0.5 = b/0.707

20 = b/0.707

b = 20 × 0.707 = 14.14

תשובה: 14.14

תרגול עכשיו

צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.

לחצו על הכפתור כדי לקבל שאלה חדשה.