טריג במשולש ישר זווית יישומים במרובעים
הסבר מלא, דוגמאות פתורות ותרגול.
📖 טריג במשולש ישר זווית יישומים במרובעים
טריגונומטריה במשולש ישר זווית
דף 9: יישומים במרובעים
💡 הרעיון המרכזי
לפרק את המרובע למשולשים ישרי זווית!
בדרך כלל באמצעות גובה או אלכסון
▭ מלבן
אלכסון מלבן (פיתגורס):
d = √(a² + b²)
זווית האלכסון עם הצלע:
tan(α) = b/a
sin(α) = b/d, cos(α) = a/d
◆ מעוין
תכונות:
- האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה
- נוצרים 4 משולשים ישרי זווית חופפים
מפיתגורס:
a² = (d₁/2)² + (d₂/2)²
או: 4a² = d₁² + d₂²
שטח מעוין:
S = (d₁ · d₂) / 2
■ ריבוע
אלכסון ריבוע: d = a√2
הוכחה:
d² = a² + a² = 2a²
d = √(2a²) = a√2
זווית האלכסון עם הצלע = 45°
⏢ טרפז
חישוב גובה מהשוק:
h = c · sin(α)
שטח טרפז:
S = h · (a + b) / 2
📝 סיכום דף 9
מלבן: d = √(a²+b²)
ריבוע: d = a√2
מעוין: 4a² = d₁² + d₂²
טרפז: h = שוק × sin(זווית)
דוגמאות פתורות
📐 במלבן יש תמיד:
כמה משולשים ישרי זוית נוצרים כאשר מורידים אלכסון אחד?
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: מהו מלבן? 🔍
| 🔹 מלבן = מרובע עם 4 זוויות ישרות (90°) 🔹 כל זווית במלבן היא זווית ישרה 🔹 הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות |
שלב 2: מה קורה כשמורידים אלכסון? 📊
| 🔹 האלכסון מחלק את המלבן לשני חלקים 🔹 כל חלק הוא משולש 🔹 לכל משולש יש זווית ישרה (מהפינה המקורית של המלבן) |
שלב 3: דוגמה במלבן ABCD 💭
| אלכסון | משולש 1 | משולש 2 |
|---|---|---|
| DB | △ABD (זווית ישרה ב-A) | △BCD (זווית ישרה ב-C) |
שלב 4: למה הם ישרי זוית? ✍️
| 🔹 במלבן: כל פינה היא 90° 🔹 כשהאלכסון "חותך" את המלבן 🔹 הוא משאיר את הזוויות של 90° בפינות 🔹 לכן: כל משולש יש לו זווית ישרה! |
שלב 5: כלל כללי 🎯
אלכסון במלבן = 2 משולשים ישרי זוית ✨ |
תשובה: שני משולשים ישרי זוית
📐 במלבן הבא:
במשולש DBC, איזו צלע היא היתר?
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: המלבן שלנו 📊
שלב 2: זיהוי המשולש DBC 🔍
| 🔹 משולש DBC מורכב מ: • קודקוד D (למטה משמאל) • קודקוד B (למעלה מימין) • קודקוד C (למטה מימין) 🔹 הזווית ב-C היא 90° (פינת המלבן) |
שלב 3: מהו היתר? 💭
| כלל | הסבר |
|---|---|
| היתר | הצלע מול הזווית הישרה |
שלב 4: איזו צלע מול הזווית הישרה ב-C? ✍️
| צלע | נוגעת ב-C? | מסקנה |
|---|---|---|
| DC | ✓ כן | לא היתר |
| BC | ✓ כן | לא היתר |
| DB | ✗ לא! | זה היתר! |
שלב 5: למה DB הוא היתר? 🎯
| 🔹 DB הוא אלכסון המלבן 🔹 האלכסון לא נוגע בזווית הישרה (C) 🔹 האלכסון הוא הצלע הארוכה ביותר 🔹 האלכסון נמצא מול הזווית הישרה 🔹 לכן: DB = יתר |
שלב 6: כלל חשוב במלבנים 💡
| במשולש שנוצר מאלכסון במלבן: האלכסון = היתר |
תשובה: DB הוא היתר (האלכסון)
🎭 במלבן הבא:
במשולש DBC, מהו sin(34°)?
(שימו לב לזווית המסומנת!)
הצג פתרון
💡 הסבר מפורט:
שלב 1: המלבן שלנו 📊
שלב 2: איפה הזווית של 34°? 🔍
| 🔹 הזווית של 34° נמצאת ב-D 🔹 זו הזווית בין DC ל-DB 🔹 אנחנו עובדים עם משולש DBC |
שלב 3: מילת הזיכרון 🎭
🎭 סמי סינוס = מול ÷ יתר |
שלב 4: איזו צלע מול 34°? 💭
| צלע | נוגעת בזווית 34°? | מסקנה |
|---|---|---|
| DB | ✓ כן (יוצאת מ-D) | לא מול (זה גם היתר) |
| DC | ✓ כן (יוצאת מ-D) | לא מול |
| BC | ✗ לא! | מול 34°! |
שלב 5: בניית הנוסחה 📐
| מה צריך? | איזו צלע? |
|---|---|
| ניצב מול 34° | BC |
| יתר | DB (האלכסון) |
| sin(34°) = BC ÷ DB | |
שלב 6: הסבר ויזואלי 🎯
🔹 הזווית של 34° "מסתכלת" על BC
🔹 BC לא נוגעת בקודקוד D
🔹 לכן BC היא מול הזווית
🔹 מחלקים ביתר (DB)
תשובה: BC ÷ DB
תרגול עכשיו
צרו שאלה חדשה אקראית ובדקו את עצמכם.