טכניקה אלגברית משוואות דו ריבועיות
טכניקה אלגברית
משוואות דו-ריבועיות
📐 מהי משוואה דו-ריבועית?
משוואה מהצורה:
\(ax^4 + bx^2 + c = 0\)
כאשר \(a \neq 0\)
💡 שימו לב:
יש \(x^4\) ו-\(x^2\) בלבד (אין \(x^3\) או \(x\)!)
דוגמאות:
- \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)
- \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\)
- \(2x^4 + 3x^2 - 2 = 0\)
🔄 שיטת ההצבה
הרעיון: מציבים \(t = x^2\)
אז \(t^2 = x^4\)
והמשוואה הופכת למשוואה ריבועית ב-t!
📋 השלבים:
- מציבים \(t = x^2\)
- פותרים משוואה ריבועית ב-t
- חוזרים ל-x: אם \(t = k\) אז \(x^2 = k\)
- מוציאים שורש: \(x = \pm\sqrt{k}\)
⚠️ חשוב לזכור:
- אם \(t > 0\): יש שני פתרונות ל-x: \(x = \pm\sqrt{t}\)
- אם \(t = 0\): יש פתרון אחד: \(x = 0\)
- אם \(t < 0\): אין פתרון ממשי (אי אפשר להוציא שורש ממספר שלילי)
✏️ דוגמה 1
פתרו: \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)
שלב 1: מציבים \(t = x^2\)
\(t^2 - 5t + 4 = 0\)
שלב 2: פותרים משוואה ריבועית
מחפשים שני מספרים: סכום = 5, מכפלה = 4
\((t - 1)(t - 4) = 0\)
\(t = 1\) או \(t = 4\)
שלב 3: חוזרים ל-x
אם \(t = 1\): \(x^2 = 1\) → \(x = \pm 1\)
אם \(t = 4\): \(x^2 = 4\) → \(x = \pm 2\)
תשובה: \(x = -2, -1, 1, 2\)
(4 פתרונות!)
✏️ דוגמה 2
פתרו: \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\)
הצבה: \(t = x^2\)
\(t^2 - 13t + 36 = 0\)
פותרים:
מחפשים: סכום = 13, מכפלה = 36
המספרים: 4 ו-9
\((t - 4)(t - 9) = 0\)
\(t = 4\) או \(t = 9\)
חוזרים ל-x:
\(x^2 = 4\) → \(x = \pm 2\)
\(x^2 = 9\) → \(x = \pm 3\)
תשובה: \(x = -3, -2, 2, 3\)
✏️ דוגמה 3 - שימוש בנוסחה
פתרו: \(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\)
הצבה: \(t = x^2\)
\(t^2 - 3t - 4 = 0\)
נוסחת השורשים:
\(a=1, b=-3, c=-4\)
\(\Delta = 9 + 16 = 25\)
\(t = \frac{3 \pm 5}{2}\)
\(t_1 = 4\), \(t_2 = -1\)
חוזרים ל-x:
\(x^2 = 4\) → \(x = \pm 2\)
\(x^2 = -1\) → אין פתרון ממשי
תשובה: \(x = -2, 2\)
(רק 2 פתרונות)
✏️ דוגמה 4 - מקרה מיוחד (c=0)
פתרו: \(x^4 - 9x^2 = 0\)
שיטה 1 - הוצאת גורם משותף:
\(x^2(x^2 - 9) = 0\)
\(x^2 = 0\) או \(x^2 - 9 = 0\)
\(x = 0\) או \(x = \pm 3\)
תשובה: \(x = -3, 0, 3\)
(3 פתרונות)
📊 כמה פתרונות יש?
| הפתרונות ב-t | מספר פתרונות ב-x |
|---|---|
| שני t חיוביים | 4 פתרונות |
| t חיובי אחד + t=0 | 3 פתרונות |
| t חיובי אחד + t שלילי | 2 פתרונות |
| t=0 בלבד (כפול) | 1 פתרון |
| שני t שליליים | 0 פתרונות |
💡 טיפים למבחן
הציבו: \(t = x^2\)
זכרו: \(x = \pm\sqrt{t}\)
t שלילי: אין פתרון!
📝 סיכום
\(ax^4 + bx^2 + c = 0\)
מציבים \(t = x^2\) → פותרים → חוזרים
יכולים להיות 0, 1, 2, 3 או 4 פתרונות!