טכניקה אלגברית ח מערכת משוואות
טכניקה אלגברית - ח'
מערכת משוואות - שיטת ההצבה ושיטת השוואת מקדמים
📐 מהי מערכת משוואות?
מערכת משוואות היא קבוצה של שתי משוואות (או יותר) עם שני נעלמים (או יותר).
דוגמה למערכת:
\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)
פתרון המערכת = הערכים של x ו-y שמקיימים את שתי המשוואות!
🔄 שיטת ההצבה
💡 הרעיון:
- מבודדים נעלם אחד מאחת המשוואות
- מציבים את הביטוי במשוואה השנייה
- פותרים משוואה עם נעלם אחד
- מציבים בחזרה למציאת הנעלם השני
✏️ דוגמה 1: פתרו את המערכת
\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)
שלב 1: מבודדים y מהמשוואה הראשונה:
\(y = 5 - x\)
שלב 2: מציבים במשוואה השנייה:
\(2x - (5 - x) = 1\)
שלב 3: פותרים:
\(2x - 5 + x = 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
שלב 4: מציבים בחזרה:
\(y = 5 - 2 = 3\)
תשובה: \(x = 2, y = 3\)
✏️ דוגמה 2: פתרו
\(\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}\)
y כבר מבודד! מציבים במשוואה השנייה:
\(3x + (2x + 1) = 11\)
\(5x + 1 = 11\)
\(5x = 10\)
\(x = 2\)
מציבים: \(y = 2(2) + 1 = 5\)
תשובה: \(x = 2, y = 5\)
⚖️ שיטת השוואת מקדמים (חיסור/חיבור)
💡 הרעיון:
- משווים את המקדמים של אחד הנעלמים (ע"י כפל)
- מחברים או מחסרים את המשוואות כדי לבטל נעלם
- פותרים משוואה עם נעלם אחד
- מציבים למציאת הנעלם השני
✏️ דוגמה 3: פתרו
\(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 2x - y = 4 \end{cases}\)
שלב 1: המקדמים של x שווים (שניהם 2)
שלב 2: מחסרים את המשוואות:
\((2x + 3y) - (2x - y) = 12 - 4\)
\(2x + 3y - 2x + y = 8\)
\(4y = 8\)
\(y = 2\)
שלב 3: מציבים במשוואה השנייה:
\(2x - 2 = 4\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
תשובה: \(x = 3, y = 2\)
✏️ דוגמה 4: פתרו (צריך להשוות מקדמים)
\(\begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ 2x + 5y = 16 \end{cases}\)
שלב 1: נשווה את מקדמי x (נכפיל הראשונה ב-2, השנייה ב-3):
\(6x + 4y = 22\)
\(6x + 15y = 48\)
שלב 2: מחסרים:
\(-11y = -26\)
\(y = \frac{26}{11}\)
(או אפשר להשוות מקדמי y ולפתור)
🤔 מתי להשתמש בכל שיטה?
| שיטת ההצבה | שיטת השוואת מקדמים |
|---|---|
| כשנעלם אחד כבר מבודד | כשהמקדמים כבר שווים או קרובים |
| כשקל לבודד נעלם (מקדם 1) | כשקשה לבודד נעלם |
| דוגמה: \(y = 3x + 1\) | דוגמה: \(5x + 3y = 7\) |
✓ בדיקת התשובה
מציבים את הפתרון בשתי המשוואות ובודקים!
בדיקה לדוגמה 1: \(x = 2, y = 3\)
משוואה 1: \(2 + 3 = 5\) ✓
משוואה 2: \(2(2) - 3 = 4 - 3 = 1\) ✓
💡 טיפים למבחן
נעלם מבודד? שיטת הצבה!
מקדמים שווים? חיסור/חיבור!
תמיד בדקו בשתי המשוואות!
📝 סיכום
שיטת הצבה: מבודדים נעלם ומציבים
השוואת מקדמים: משווים ומחסרים/מחברים
בדיקה: מציבים בשתי המשוואות!