קומבינטוריקה 1 עקרונות ספירה בסיסיים
קומבינטוריקה
דף 1: עקרונות ספירה בסיסיים
🎯 מהי קומבינטוריקה?
קומבינטוריקה היא ענף במתמטיקה העוסק בספירה - כמה דרכים יש לבצע משימה מסוימת, לבחור, לסדר או לארגן אובייקטים.
💡 שאלות טיפוסיות:
- בכמה דרכים אפשר לסדר 5 אנשים בשורה?
- כמה מספרים בני 4 ספרות אפשר ליצור?
- בכמה דרכים אפשר לבחור 3 תלמידים מתוך 10?
- כמה קודי סודיים אפשר ליצור?
✖️ עקרון הכפל (כלל המכפלה)
אם משימה מורכבת מ-שלבים עוקבים:
שלב 1 אפשר לבצע ב-\(n_1\) דרכים, שלב 2 ב-\(n_2\) דרכים, וכו'...
מספר הדרכים הכולל = \(n_1 \times n_2 \times n_3 \times ...\)
✏️ דוגמה 1: בחירת ארוחה
במסעדה יש 3 מנות ראשונות, 5 מנות עיקריות ו-2 קינוחים.
בכמה דרכים אפשר להרכיב ארוחה מלאה?
מנה ראשונה: 3 אפשרויות
מנה עיקרית: 5 אפשרויות
קינוח: 2 אפשרויות
סה"כ: 3 × 5 × 2 = 30 דרכים
✏️ דוגמה 2: קוד סודי
קוד בן 4 ספרות (0-9), מותר חזרות.
כמה קודים אפשריים?
ספרה ראשונה: 10 אפשרויות (0-9)
ספרה שנייה: 10 אפשרויות
ספרה שלישית: 10 אפשרויות
ספרה רביעית: 10 אפשרויות
סה"כ: 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴ = 10,000 קודים
✏️ דוגמה 3: קוד ללא חזרות
קוד בן 4 ספרות (0-9), אסור חזרות.
ספרה ראשונה: 10 אפשרויות
ספרה שנייה: 9 אפשרויות (אחת כבר נבחרה)
ספרה שלישית: 8 אפשרויות
ספרה רביעית: 7 אפשרויות
סה"כ: 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 קודים
➕ עקרון החיבור (כלל הסכום)
אם משימה אפשר לבצע בדרכים שונות ונפרדות (או זה או זה):
מספר הדרכים הכולל = \(n_1 + n_2 + n_3 + ...\)
✏️ דוגמה 4: בחירת נציג
בכיתה 12 בנים ו-15 בנות. בכמה דרכים אפשר לבחור נציג אחד?
או בן (12 אפשרויות) או בת (15 אפשרויות)
סה"כ: 12 + 15 = 27 דרכים
⚠️ מתי כפל ומתי חיבור?
| כפל (וגם) | חיבור (או) |
|---|---|
| שלבים עוקבים | חלופות נפרדות |
| בוחרים מכל קטגוריה | בוחרים מקטגוריה אחת |
| "וגם", "ואז" | "או", "אחד מתוך" |
🔀 שילוב כפל וחיבור
✏️ דוגמה 5: מספרים זוגיים
כמה מספרים זוגיים בני 3 ספרות אפשר ליצור מהספרות 1,2,3,4,5 (ללא חזרות)?
מספר זוגי → ספרת האחדות חייבת להיות 2 או 4
מקרה 1: אחדות = 2
מאות: 4 אפשרויות (1,3,4,5)
עשרות: 3 אפשרויות
סה"כ: 4 × 3 = 12
מקרה 2: אחדות = 4
מאות: 4 אפשרויות (1,2,3,5)
עשרות: 3 אפשרויות
סה"כ: 4 × 3 = 12
סה"כ: 12 + 12 = 24 מספרים
✏️ דוגמה 6: ועדה מעורבת
יש 4 מורים ו-6 תלמידים. בכמה דרכים אפשר לבחור ועדה של מורה אחד ותלמיד אחד?
בוחרים מורה וגם תלמיד (שלבים עוקבים)
סה"כ: 4 × 6 = 24 דרכים
🌳 דיאגרמת עץ
דיאגרמת עץ היא כלי ויזואלי לספירת כל האפשרויות באופן מסודר.
✏️ דוגמה 7: הטלת מטבע פעמיים
4 תוצאות אפשריות (וגם 2 × 2 = 4)
✏️ דוגמה 8: בחירת תלבושת
חולצות: אדום, כחול | מכנסיים: שחור, לבן, אפור
6 צירופים (וגם 2 × 3 = 6)
🔄 עקרון המשלים
לפעמים קל יותר לספור את מה שלא רוצים ולהחסיר:
מה שרוצים = הכל - מה שלא רוצים
✏️ דוגמה 9: קודים עם לפחות ספרה אחת זוגית
קוד בן 3 ספרות (1-9). כמה קודים עם לפחות ספרה זוגית אחת?
הכל: 9 × 9 × 9 = 729 קודים
ללא ספרות זוגיות (רק אי-זוגיות 1,3,5,7,9):
5 × 5 × 5 = 125 קודים
לפחות ספרה זוגית: 729 - 125 = 604 קודים
💡 טיפים למבחן
"וגם": כפל
"או": חיבור
"לפחות": משלים
ללא חזרות: הכמות יורדת
📝 סיכום דף 1
עקרון הכפל: שלבים עוקבים → כפל
עקרון החיבור: חלופות נפרדות → חיבור
עקרון המשלים: הכל - מה שלא רוצים