מספרים מרוכבים חלק ב
מספרים מרוכבים - חלק ב'
ערך מוחלט, המישור המרוכב וייצוג גרפי
📐 המישור המרוכב (מישור גאוס)
כל מספר מרוכב \(z = a + bi\) ניתן לייצג כנקודה במישור:
- ציר X = ציר ממשי (Real axis) - מייצג את a
- ציר Y = ציר מדומה (Imaginary axis) - מייצג את b
- המספר \(z = a + bi\) מיוצג בנקודה \((a, b)\)
📏 ערך מוחלט (מודולוס)
הערך המוחלט של \(z = a + bi\) הוא המרחק מהראשית:
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
💡 זה בדיוק משפט פיתגורס!
דוגמאות:
\(|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)
\(|-5| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = 5\) (מספר ממשי)
\(|3i| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3\) (מספר מדומה טהור)
⭐ קשר לצמוד:
\(|z|^2 = z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\)
📐 תכונות הערך המוחלט
1. תמיד אי-שלילי:
\(|z| \geq 0\)
\(|z| = 0 \iff z = 0\)
2. כפל:
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
3. חילוק:
\(\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\) (כאשר \(z_2 \neq 0\))
4. צמוד:
\(|\bar{z}| = |z|\)
5. אי-שוויון המשולש:
\(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)
🪞 הצמוד במישור המרוכב
הצמוד \(\bar{z}\) הוא שיקוף של z ביחס לציר הממשי.
💡 שימו לב:
- z ו-\(\bar{z}\) באותו מרחק מהראשית (\(|z| = |\bar{z}|\))
- z ו-\(\bar{z}\) סימטריים ביחס לציר הממשי
- אם z על הציר הממשי, אז \(z = \bar{z}\)
📍 מרחק בין שני מספרים מרוכבים
המרחק בין \(z_1 = a + bi\) לבין \(z_2 = c + di\):
\(|z_1 - z_2| = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\)
דוגמה: מצאו את המרחק בין \(z_1 = 3 + 2i\) לבין \(z_2 = -1 + 5i\)
\(z_1 - z_2 = (3 + 2i) - (-1 + 5i) = 4 - 3i\)
\(|z_1 - z_2| = |4 - 3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)
⭕ מעגל במישור המרוכב
המשוואה \(|z - z_0| = r\) מתארת מעגל:
- מרכז: \(z_0\)
- רדיוס: \(r\)
דוגמאות:
\(|z| = 3\)
מעגל עם מרכז בראשית ורדיוס 3
\(|z - 2| = 4\)
מעגל עם מרכז ב-\(z_0 = 2\) (כלומר הנקודה (2,0)) ורדיוס 4
\(|z - (1 + 2i)| = 5\)
מעגל עם מרכז ב-(1,2) ורדיוס 5
\(|z + 3i| = 2\) כלומר \(|z - (-3i)| = 2\)
מעגל עם מרכז ב-(0,-3) ורדיוס 2
📊 אי-שוויונות במישור המרוכב
\(|z - z_0| < r\)
פנים המעגל (לא כולל השפה)
\(|z - z_0| \leq r\)
פנים המעגל כולל השפה (עיגול סגור)
\(|z - z_0| > r\)
חוץ למעגל (לא כולל השפה)
דוגמה: תארו את הקבוצה \(|z - 1| \leq 2\)
כל הנקודות בתוך ועל מעגל עם מרכז ב-(1,0) ורדיוס 2.
📐 תכונות הצמוד
1. \(\overline{\overline{z}} = z\) (צמוד של צמוד = המקור)
2. \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}\)
3. \(\overline{z_1 - z_2} = \bar{z_1} - \bar{z_2}\)
4. \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}\)
5. \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}\)
6. \(z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) = 2a\) (תמיד ממשי!)
7. \(z - \bar{z} = 2\text{Im}(z) \cdot i = 2bi\) (תמיד מדומה טהור!)
📋 טבלת סיכום - חלק ב'
| מושג | נוסחה/הגדרה |
|---|---|
| ערך מוחלט | \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| מרחק בין z₁ ל-z₂ | \(|z_1 - z_2|\) |
| מעגל | \(|z - z_0| = r\) |
| קשר לצמוד | \(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\) |
| צמוד גרפית | שיקוף ביחס לציר הממשי |
💡 טיפים למבחן
1️⃣ ערך מוחלט
זה פיתגורס! \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
2️⃣ מעגל
\(|z - z_0| = r\) זה מעגל עם מרכז \(z_0\)
3️⃣ קשר שימושי
\(z \cdot \bar{z} = |z|^2\)
4️⃣ כפל ע"מ
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
📝 סיכום חלק ב'
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(|z - z_0| = r\) → מעגל
בחלק הבא: משוואות ריבועיות ופתרון במרוכבים