מספרים מרוכבים חלק ד' - ייצוג קוטבי (טריגונומטרי)
מספרים מרוכבים - חלק ד'
ייצוג קוטבי (טריגונומטרי)
🌟 שני ייצוגים למספר מרוכב
עד עכשיו הכרנו את הייצוג הקרטזי: \(z = a + bi\)
עכשיו נלמד ייצוג אחר - הייצוג הקוטבי (או הטריגונומטרי).
💡 הרעיון:
במקום לתאר נקודה ע"י (x, y), נתאר אותה ע"י:
- מרחק מהראשית (r)
- זווית מציר x החיובי (θ)
📐 הייצוג הקוטבי - גרפית
| \(r\) | המודולוס (ערך מוחלט) - המרחק מהראשית: \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| \(\theta\) | הארגומנט - הזווית מציר x החיובי (נגד כיוון השעון) |
🔄 המעבר בין הייצוגים
מקוטבי לקרטזי:
\(a = r\cos\theta\)
\(b = r\sin\theta\)
מקרטזי לקוטבי:
\(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(\tan\theta = \frac{b}{a}\)
⚠️ זהירות עם θ!
כשמחשבים \(\theta = \arctan\frac{b}{a}\), צריך לשים לב באיזה רביע נמצאת הנקודה!
⭐ הצורה הטריגונומטרית
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
💡 הסבר:
\(z = a + bi = r\cos\theta + i \cdot r\sin\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
סימון מקוצר:
\(z = r \cdot \text{cis}\,\theta\)
(cis = cos + i·sin)
🧭 הזווית לפי רביע
💡 כלל אצבע:
- רביע I: \(\theta\) בין 0° ל-90°
- רביע II: \(\theta\) בין 90° ל-180°
- רביע III: \(\theta\) בין 180° ל-270° (או -180° ל--90°)
- רביע IV: \(\theta\) בין 270° ל-360° (או -90° ל-0°)
✏️ דוגמה 1: מקרטזי לקוטבי
המירו לצורה קוטבית: \(z = 1 + i\)
פתרון:
שלב 1: מחשבים r
\(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
שלב 2: מחשבים θ
\(\tan\theta = \frac{1}{1} = 1\)
הנקודה ברביע I (שני הרכיבים חיוביים)
\(\theta = \frac{\pi}{4}\) (או 45°)
תשובה: \(z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\)
✏️ דוגמה 2: נקודה ברביע II
המירו לצורה קוטבית: \(z = -1 + \sqrt{3}i\)
פתרון:
שלב 1: מחשבים r
\(r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)
שלב 2: מחשבים θ
\(\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}\)
הנקודה ברביע II (a שלילי, b חיובי)
הזווית הבסיסית: \(\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\)
ברביע II: \(\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\) (או 120°)
תשובה: \(z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\)
✏️ דוגמה 3: מקוטבי לקרטזי
המירו לצורה קרטזית: \(z = 4\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)
פתרון:
\(r = 4, \quad \theta = \frac{\pi}{6} = 30°\)
\(a = r\cos\theta = 4 \cdot \cos\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\)
\(b = r\sin\theta = 4 \cdot \sin\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\)
תשובה: \(z = 2\sqrt{3} + 2i\)
📊 טבלת זוויות מיוחדות
| θ | מעלות | cos θ | sin θ | z = cos θ + i sin θ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 1 | 0 | 1 |
| \(\frac{\pi}{6}\) | 30° | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{4}\) | 45° | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{3}\) | 60° | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\) |
| \(\frac{\pi}{2}\) | 90° | 0 | 1 | i |
| \(\pi\) | 180° | -1 | 0 | -1 |
| \(\frac{3\pi}{2}\) | 270° | 0 | -1 | -i |
⭐ מספרים מיוחדים בצורה קוטבית
\(1\)
\(r=1, \theta=0\)
\(-1\)
\(r=1, \theta=\pi\)
\(i\)
\(r=1, \theta=\frac{\pi}{2}\)
\(-i\)
\(r=1, \theta=\frac{3\pi}{2}\)
📋 טבלת סיכום - חלק ד'
| נושא | נוסחה |
|---|---|
| צורה קוטבית | \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) |
| מודולוס | \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| ארגומנט | \(\tan\theta = \frac{b}{a}\) (לפי רביע!) |
| קוטבי → קרטזי | \(a = r\cos\theta, \, b = r\sin\theta\) |
💡 טיפים למבחן
1️⃣ בדקו רביע!
לפני חישוב θ, סמנו באיזה רביע הנקודה
2️⃣ זוויות מיוחדות
שננו את הטבלה 30°, 45°, 60°
3️⃣ בדיקה
חזרו לקרטזי ובדקו שקיבלתם את אותו z
4️⃣ r תמיד חיובי!
המודולוס r ≥ 0 תמיד
📝 סיכום חלק ד'
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
\(r = |z|, \quad \theta = \arg(z)\)
בחלק הבא: נוסחת דה-מואבר - כפל, חילוק, חזקות ושורשים!