מהו תחום הגדרה? - מבוא והבנה אינטואיטיבית
תחום הגדרה
דף 1: מהו תחום הגדרה? - מבוא והבנה אינטואיטיבית
🎯 מהו תחום הגדרה?
תחום הגדרה = כל ערכי ה-x שבהם הפונקציה "עובדת"
לכל פונקציה יש "כללי משחק" - יש ערכי x שמותר להציב, ויש ערכים שאסור.
תחום ההגדרה הוא אוסף כל ערכי ה-x שמותר להציב בפונקציה.
🌍 דוגמאות מהחיים - למה זה חשוב?
🎢 דוגמה 1: גובה בהר הרים
נניח שפונקציה מתארת את הגובה של רכבת הרים בזמן הנסיעה.
מה התחום? רק הזמנים שבהם הרכבת נוסעת!
אי אפשר לשאול "מה הגובה בדקה 50?" אם הנסיעה נמשכת רק 3 דקות.
תחום: \(0 \leq t \leq 3\) (דקות)
🌡️ דוגמה 2: טמפרטורה במקפיא
פונקציה שמתארת את הטמפרטורה במקפיא לאורך היום.
מה התחום? 24 השעות של היום!
אין שעה 25 או שעה מינוס 3.
תחום: \(0 \leq t \leq 24\) (שעות)
🍕 דוגמה 3: מחיר פיצה לפי גודל
פונקציה שמחשבת מחיר פיצה לפי הקוטר שלה בס"מ.
מה התחום? קטרים חיוביים בלבד!
אין פיצה עם קוטר שלילי או קוטר אפס.
תחום: \(x > 0\) (ס"מ)
👥 דוגמה 4: מספר תלמידים בכיתה
פונקציה שמחשבת עלות טיול לפי מספר התלמידים.
מה התחום? מספרים שלמים חיוביים!
אין 2.5 תלמידים או מינוס 3 תלמידים.
תחום: \(n \in \{1, 2, 3, 4, ...\}\)
⚠️ למה חשוב למצוא תחום הגדרה?
1. למנוע טעויות מתמטיות
יש פעולות שאסור לעשות במתמטיקה - אם לא נבדוק את התחום, נקבל תוצאות שגויות!
2. להבין את הגרף
התחום קובע איפה הגרף קיים - ואיפה יש "חורים" או קפיצות.
3. לפתור בעיות מילוליות
בבעיות מהחיים, לא כל תשובה הגיונית - התחום עוזר לסנן תשובות לא ריאליות.
🚫 שלוש המגבלות הגדולות
במתמטיקה יש שלוש פעולות שפשוט אסורות:
🚫 חילוק באפס
\(\frac{?}{0}\)
אי אפשר לחלק באפס!
לכן במכנה: ≠ 0
🚫 שורש ממספר שלילי
\(\sqrt{-?}\)
אין שורש ממספר שלילי!
לכן תחת השורש: ≥ 0
🚫 לוג ממספר לא-חיובי
\(\log(-?)\)
אין לוג מאפס או שלילי!
לכן בתוך הלוג: > 0
📊 סוגי פונקציות ותחומים
| סוג פונקציה | מה לבדוק? | תחום טיפוסי |
|---|---|---|
| פולינום (כמו \(x^2+3x\)) | אין מגבלות! | ℝ (כל המספרים) |
| שורש (כמו \(\sqrt{x-2}\)) | תחת השורש ≥ 0 | תלוי בביטוי |
| רציונלית (כמו \(\frac{1}{x-3}\)) | מכנה ≠ 0 | ℝ חוץ מנקודות |
| לוגריתם (כמו \(\log(x)\)) | בתוך הלוג > 0 | חיוביים בלבד |
| מעריכית (כמו \(2^x\)) | אין מגבלות! | ℝ (כל המספרים) |
✏️ איך כותבים תחום הגדרה?
שתי דרכים נפוצות:
סימון אי-שוויון
\(x \geq 3\)
\(x \neq 0\)
\(-2 < x < 5\)
סימון קטעים
\([3, \infty)\)
\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
\((-2, 5)\)
💡 תזכורת סימנים:
[ או ] = כולל את הקצה (סוגר מרובע)
( או ) = לא כולל את הקצה (סוגר עגול)
∞ תמיד עם סוגר עגול! (אינסוף הוא לא מספר)
📝 סיכום
תחום הגדרה = כל ערכי x שמותר להציב
שלוש מגבלות: אין חילוק ב-0, אין שורש משלילי, אין לוג מ-≤0
בדפים הבאים נלמד למצוא תחום לכל סוג פונקציה!